Упражнение 873 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(b_1; \; b_2; \; b_3\) геометрическая прогрессия, тогда:

\(b_1; \; b_2=b_1q; \; b_3=b_1q^2.\)

По условию:

\(b_1+b_2+b_3=-3\)

\(b_1+b_1q+b_1q^2=-3\)

\( b_1(1+q+q^2)=-3. \)

Пары целых делителей, на которые можем разложить число  \((-3)\): \(-1\) и \(3\); \(1\) и \(-3\). Рассмотрим следующие случаи:

1) Пусть \(b_1=-1\), тогда

\(1+q+q^2=3.\)

Откуда:

\(q^2+q+1-3=0\)

\(q^2+q-2=0\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=3\)

\(q_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(q_{1}=\frac{-1+3}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)

\(q_{2}=\frac{-1-3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)

Если \(q_1=1\), то:

\(b_1=-1; \; b_2=-1; \; b_3=-1\) - не удовлетворяет условию задачи. 

Если \(q_1=-2\), то:

\(b_1=-1; \; b_2=2; \; b_3=-4.\)

2) Пусть \(b_1=1\), тогда

\(1+q+q^2=-3.\)

Откуда:

\(q^2+q+1+3=0\)

\(q^2+q+4=0\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15<0\) - нет корней.

3) Пусть \(b_1=-3\), тогда

\(1+q+q^2=1.\)

Откуда:

\(q^2+q+1-1=0\)

\(q^2+q=0\)

\(q(q+1)=0\)

\(q+1=0\)  или   \(q=0\) - не удовлетворяет условию.

\(q=-1.\)

Если \(q=-1\), то:

\(b_1=-3; \; b_2=3; \; b_3=-3\) - не удовлетворяет условию задачи. 

4) Пусть \(b_1=3\), тогда

\(1+q+q^2=-1.\)

Откуда:

\(q^2+q+2=0\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot2=-7<0\) - нет корней.

Ответ: \( 2,\;-1,\;-4. \)

Пояснения:

Геометрическая прогрессия называется последовательность отличных от нуля чисел,каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии:

\[ a_{n+1}=a_n q. \]