Упражнение 783 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((a_n)\) - арифметическая прогрессия. 

\(a_{14}=140; S_{14}=1050\) 

\(S_{14}=\frac{a_1+a_{14}}{2}\cdot14\)

\(1050=\frac{a_1+140}{2}\cdot14\)

\(1050=(a_1+140)\cdot7\)

\((a_1+140)=1050:7\)

 \((a_1+140)=150\)

 \(a_1=150-140\)

 \(a_1=10.\)

\(a_{14}=a_1+13d\)

\(140=10+13d\)

\(13d=140-10\)

\(13d=130\)

\(d=10.\)

Ответ:  \(a_1=10; d=10.\)

Пояснения:

Основные формулы арифметической прогрессии:

1. Формула \(n\)-го члена:

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

2. Формула суммы первых \(n\) членов:

\(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\)

\( y=-2x^2+8 \)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз  \((a=-2<0).\)

2. \( m=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot(-2)}=0. \)

\(n=-2\cdot 0^2 + 8=8.\)

Вершина параболы: \((0; 8)\). Прямая \(x=0\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(-2 x^2 + 8=0\)     \(|:(-2)\)

\(x^2 -4=0\)

\((x-2)(x+2)=0\)

\(x-2=0\) или \(x+2=0\)

\(x=2\)               \(x=-2\)

\((-2; 0)\) и \((2; 0)\) - точки пересечения с осью \(x.\)

4. Точка пересечения с осью \(y\): \((0; 8).\)

Пояснения:

1. Общий вид квадратичной функции:

\[ y=ax^2+bx+c \]

2. Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

3. Ось симметрии

Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).

4. Направление ветвей

• если \(a > 0\) — ветви вверх;

• если \(a < 0\) — ветви вниз.

2. Если \(a<0\), ветви параболы направлены вниз.