Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№702 учебника 2023-2026 (стр. 190):
Разложите на множители:
а) \(12x^3 - 3x^2y - 18xy^2\);
б) \(42a^5 - 6a^4 + 30a^3\);
в) \(8ab - 14a - 12b + 21\);
г) \(x^2 - 5x - 9xy + 45y\).
№702 учебника 2014-2022 (стр. 179):
Последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:
а) \(x_1+1;\ x_2+1;\ \dots;\ x_n+1;\ \dots\);
б) \(3x_1;\ 3x_2;\ \dots;\ 3x_n;\ \dots\);
в) \(x_1^2;\ x_2^2;\ \dots;\ x_n^2;\ \dots\);
г) \(\dfrac{1}{x_1};\ \dfrac{1}{x_2};\ \dots;\ \dfrac{1}{x_n};\ \dots\)?
№702 учебника 2023-2026 (стр. 190):
Вспомните:
№702 учебника 2014-2022 (стр. 179):
Вспомните:
№702 учебника 2023-2026 (стр. 190):
а) \(12x^3 - 3x^2y - 18xy^2 =\)
\(=3x(4x^2 - xy - 6y^2).\)
б) \(42a^5 - 6a^4 + 30a^3 =\)
\(= 6a^3(7a^2 - a + 5).\)
в) \(8ab - 14a - 12b + 21 =\)
\(=(8ab - 14a) - (12b - 21)\)
\(= 2a(4b - 7) - 3(4b - 7)\)
\(= (4b - 7)(2a - 3).\)
г) \(x^2 - 5x - 9xy + 45y =\)
\(=(x^2 - 5x) - (9xy - 45y)=\)
\(= x(x - 5) - 9y(x - 5)=\)
\(= (x - 5)(x - 9y).\)
Пояснения:
1. Вынесение общего множителя за скобки
Если все члены выражения имеют общий множитель, то его можно вынести за скобки:
\(ab + ac = a(b + c)\)
В заданиях а) и б) мы нашли общий числовой и буквенный множитель и вынесли его за скобки.
а) Все коэффициенты делятся на 3, и во всех членах есть множитель \(x\):
\(12x^3 - 3x^2y - 18xy^2 = 3x(4x^2 - xy - 6y^2)\)
б) Все коэффициенты делятся на 6, и во всех членах есть \(a^3\):
\(42a^5 - 6a^4 + 30a^3 = 6a^3(7a^2 - a + 5)\)
2. Способ группировки
Если общего множителя у всех членов нет, выражение группируют:
\(ab + ac + db + dc = a(b + c) + d(b + c)\)
Затем выносят общий множитель второй раз:
\((b + c)(a + d)\)
в) Сгруппировали попарно:
\((8ab - 14a) - (12b - 21)\)
Вынесли множители:
\(2a(4b - 7) - 3(4b - 7)\)
Получили общий множитель \((4b - 7)\):
\((4b - 7)(2a - 3)\)
г) Аналогично:
\((x^2 - 5x) - (9xy - 45y)\)
\(x(x - 5) - 9y(x - 5)\)
Общий множитель \((x - 5)\):
\((x - 5)(x - 9y)\)
№702 учебника 2014-2022 (стр. 179):
а) \(x_1+1;\ x_2+1;\ \dots;\ x_n+1;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{x_{n+1}+1}{x_n+1}=\dfrac{x_n q+1}{x_n+1}\) - зависит от \(n\), поэтому последовательность не является геометрической.
Ответ: не является геометрической прогрессией.
б) \(3x_1;\ 3x_2;\ \dots;\ 3x_n;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{3x_{n+1}}{3x_n}=\dfrac{\cancel{3x_n} \cdot q}{\cancel{3x_n}}=q\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
в) \(x_1^2;\ x_2^2;\ \dots;\ x_n^2;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{x_{n+1}^2}{x_n^2}=\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2=\left(\dfrac{\cancel{x_n}\cdot q}{\cancel{x_n}}\right)^2=q^2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
г) \(\dfrac{1}{x_1};\ \dfrac{1}{x_2};\ \dots;\ \dfrac{1}{x_n};\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{\frac{1}{x_{n+1}}}{\frac{1}{x_n}}=\frac{1}{x_{n+1}}\cdot x_n=\dfrac{x_n}{x_{n+1}}=\)
\(=\dfrac{\cancel{x_n}}{\cancel{x_n}\cdot q}=\dfrac{1}{q}\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
Пояснения:
Используемые правила и определения:
1) Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение соседних членов постоянно, то есть равно какому-нибудь числу:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\text{const}.\]
2) Если каждый член геометрической прогрессии умножить на одно и то же ненулевое число, получится геометрическая прогрессия с тем же знаменателем.
3) При возведении членов геометрической прогрессии в квадрат знаменатель также возводится в квадрат.
4) Последовательность обратных чисел к членам геометрической прогрессии (при \(x_n\ne0\)) также является геометрической.
Вернуться к содержанию учебника