Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№690 учебника 2023-2026 (стр. 189):
Докажите равенство:
а) \(\sqrt{19-6\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3;\)
б) \(\sqrt{23-8\sqrt{7}}=4-\sqrt{7}.\)
№690 учебника 2014-2022 (стр. 178):
Найдите сумму:
а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;
б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;
в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.
№690 учебника 2023-2026 (стр. 189):
№690 учебника 2014-2022 (стр. 178):
Вспомните:
№690 учебника 2023-2026 (стр. 189):
а) \(\small \sqrt{19-6\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\)
\(\small \biggl(\sqrt{19-6\sqrt{10}}\biggr)^2=(\sqrt{10}-3)^2\)
\(\small 19-6\sqrt{10}=10-6\sqrt{10}+9\)
\(\small 19-6\sqrt{10}=19-6\sqrt{10}\) - верно.
б) \(\small \sqrt{23-8\sqrt{7}}=4-\sqrt{7}\)
\(\small \biggl(\sqrt{23-8\sqrt{7}}\biggr)^2=(4-\sqrt{7})^2\)
\(\small {23-8\sqrt{7}}=16-8\sqrt{7}+7\)
\(\small {23-8\sqrt{7}}=23-8\sqrt{7}\) - верно.
Пояснения:
Так как обе части равенства положительны, то для доказательства того, что равенства верны, используем метод возведения обоих частей в квадрат.
При этом используем:
1) Формула квадрата разности:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)
2) Для любого неотрицательного числа \(a\) справедливо, что: \(\sqrt a \geq0\) и \(\bigl(\sqrt a \bigr)^2=a.\)
№690 учебника 2014-2022 (стр. 178):
а) \(2; 4; 6; \dots; 200\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=2\).
\(a_1=2,\ a_n=200\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(2 + (n - 1)\cdot 2 = 200\)
\(2 + 2n - 2 = 200\)
\(2n = 200\)
\(n = \frac{200}{2}\)
\(n = 100\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{100}=\dfrac{a_1+a_{100}}{\cancel2}\cdot \cancel{100} ^{\color{red}{50}} =\)
\(=(2 + 200)\cdot50=\)
\(=202\cdot 50=10\,100\)
Ответ: \(10\,100\).
б) \(1; 3; 5; \dots; 149\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=2\).
\(a_1=1,\ a_n=149\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(1 + (n - 1) \cdot2 = 149\)
\(1 + 2n - 2 = 149\)
\(2n - 1 = 149\)
\(2n = 149 + 1\)
\(2n = 150\)
\(n = \frac{150}{2}\)
\(n = 75\)
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\)
\(S_{75}=\dfrac{(a_1+a_{75})}{2}\cdot 75=\)
\(=\dfrac{(1+149)\cdot75}{2}=\dfrac{ ^{\color{blue}{75}} \cancel{150}\cdot75}{\cancel2}=\)
\(=75\cdot75 = 5625\).
Ответ: \(5625\).
в) \(102; 105; 108; \dots;198\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=3\).
\(a_1=102,\ a_n=198\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(102 + (n-1)\cdot3 = 198\)
\(102 +3n - 3 = 198\)
\(99 + 3n = 198\)
\(3n = 198 - 99\)
\(3n = 99\)
\(n = \frac{99}{3}\)
\(n = 33\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{33}=\dfrac{a_1+a_{33}}{2}\cdot 33=\)
\(=\dfrac{(102+198)\cdot 33}{2}=\)
\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{150}} \cancel{300}\cdot 33}{\cancel2}=150\cdot33=4950\).
Ответ: \(4950\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Последовательные чётные, нечётные числа и числа, кратные одному и тому же числу, образуют арифметическую прогрессию.
2) Количество членов арифметической прогрессии от \(a_1\) до \(a_n\) включительно находим через формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии.
\(a_n = a_1+(n-1)d\).
3) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\]
Вернуться к содержанию учебника