Упражнение 684 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) 1)  Пусть \(m\) - масса каждого раствора.

Тогда \(0{,}15m\) - масса соли в первом растворе.

\(0{,}45m\)  - масса соли во втором растворе.

2) \(0{,}15m+0{,}45m=0{,}6m\) - общая масса соли в двух растворах.

3) \(m+m=2m\) - общая масса раствора.

4) \(\dfrac{0{,}6m}{2m}\cdot100\%=0{,}3\cdot100\%=30\%\) - концентрация соли в полученном растворе. 

Ответ: \(30\%\)

б) 1) Пусть \(m\) - масса 30%-го раствора.

Тогда \(2m\) - масса 15%-го раствора.

\(0{,}3m\) - масса соли в первом растворе. 

\(0{,}15\cdot2m=0{,}3m\) - масса соли во втором растворе.

2) \(0{,}3m+0{,}3m=0{,}6m\) - общая масса соли.

3) \(m+2m=3m\) - общая масса раствора.

4) \(\dfrac{0{,}6m}{3m}\cdot100\%=0{,}2\cdot100\%=20\%\) - концентрация соли в полученном растворе. 

Ответ: \(20\%\)

Пояснения:

Используемые правила:

1) Масса растворённого вещества равна произведению массы раствора на его концентрацию (в долях единицы).

2) При смешивании растворов масса соли складывается, а общая масса раствора равна сумме масс растворов.

3) Концентрация вычисляется по формуле:

\[\text{концентрация}=\frac{\text{масса соли}}{\text{общая масса раствора}}\cdot100\%.\]

а) \(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4},\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=\dfrac{2}{3}\),  \(a_2=\dfrac{3}{4}\)

\(d = a_2 - a_1=\dfrac{3}{4} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\dfrac{2}{3} ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\dfrac{9-8}{12}=\dfrac{1}{12}\).

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)

\(S_{10}=\dfrac{2\cdot\frac23+\frac{1}{12}\cdot(10-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{10}  ^{\color{red}{5}} =\)

\(=\left(\frac43+\frac{1}{\cancel{12}_{\color{blue}{4}} }\cdot\cancel{9} ^{\color{blue}{3}}\right)\cdot10=\)

\(=\left(\frac43 ^{\color{red}{\backslash4}} +\frac{3}{4} ^{\color{red}{\backslash3}} \right)\cdot5=\)

\(=\left(\frac{16}{12} +\frac{9}{12} \right)\cdot5=\)

\(=\frac{25}{12}\cdot5=\dfrac{125}{12} = 10\dfrac{5}{12}\).

Ответ: \(S_{10} = 10\dfrac{5}{12}\).

б) \(\sqrt{3},\ \sqrt{12},\ \dots\)

\(a_1=\sqrt{3}\)

\(a_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

\(d=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)

\(S_{10}=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt3\cdot(10-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{10}  ^{\color{red}{5}}=\)

\(=(2\sqrt3+9\sqrt3)\cdot5=\)

\(=11\sqrt3 \cdot 5 =55\sqrt3\).

Ответ: \(S_{10}=55\sqrt{3}\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:

\[d=a_2-a_1.\]

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).