Упражнение 668 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(b_1;\ b_2;\ 225;\ -135;\ 81;\ b_6;\ \dots\);

\(b_3=225,\ b_4=-135,\ b_5=81\)

\(q=\dfrac{b_4}{b_3}=\dfrac{-135}{225}=-\dfrac{3}{5} = -0,6\)

\(b_2=\dfrac{b_3}{q}=\dfrac{225}{-0,6} =\dfrac{2250}{6} =-375\)

\(b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{-375}{-0,6} =\dfrac{-3750}{6} =625\)

\(b_6=b_5\cdot q=81\cdot(-0,6)=-48,6\)

Ответ: \(b_1= 625\), \(b_2= -375\),

\(b_6=-48,6\).

б) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(b_1;\ b_2;\ b_3;\ 36;\ 54;\ \dots\).

\(b_4=36,\ b_5=54\)

\(q=\dfrac{b_5}{b_4}=\dfrac{54}{36}=\dfrac{3}{2} = 1,5\)

\(b_3=\dfrac{b_4}{q}=\dfrac{36}{1,5}=\dfrac{360}{15}=24\)

\(b_2=\dfrac{b_3}{q}=\dfrac{24}{1,5}=\dfrac{240}{15}=16\)

\(b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{16}{1,5}=\dfrac{160}{15}= \dfrac{32}{3} = 10\dfrac{2}{3}\).

Ответ: \(b_1=10\dfrac{2}{3}\), \(b_2=16\), \(b_3=24\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\):

\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]

2) Знаменатель прогрессии \(q\) находится по формуле:

\[q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\]

3) Чтобы найти предыдущий член, нужно разделить известный член на \(q\).

а) Так как известны три подряд идущих члена, знаменатель \(q\) находится сразу. После этого последовательно находятся неизвестные члены делением или умножением на \(q\).

б) По двум подряд идущим членам определяется знаменатель прогрессии. Затем предыдущие члены находятся делением на \(q\).

Доказать, что разность \(49^n-1\) кратна \(48\) при любом натуральном \(n\).

Доказательство:

1) При \(n=1\):

\(49^1-1=49-1=48\) - что кратно \(48\).

2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:

\(49^k-1\) кратно \(48\), то есть

\(49^k-1 = 48m\).

При \(n = k + 1\):

\[49^{k+1}-1=49\cdot 49^k-1=\]

\(=(49\cdot 49^k - 49) + 49 -1 =\)

\[=49\cdot(49^k-1)+48=\]

\[=49\cdot 48m+48=\]

\(=48\cdot(49m+1)\) - кратно 48.

\(49^{k+1}-1\) кратно \(48\), значит, \(49^n-1\) кратно \(48\) при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Математическая индукция. Если утверждение верно при \(n=1\) и из его верности при \(n = k\) следует верность при \(n = k+1\), то оно верно для всех натуральных \(n\).

2) Определение кратности: число \(A\) кратно числу \(B\), если существует целое число \(m\), такое что \(A=Bm\).

База индукции.

При \(n=1\) разность \(49^1-1\) равна \(48\), а \(48\) делится на \(48\) без остатка. Следовательно, утверждение верно при \(n=1\).

Индукционный переход.

Предположим, что при некотором натуральном \(n=k\) число \(49^k-1\) делится на \(48\), то есть

\[49^k-1=48m.\]

Рассмотрим выражение для следующего показателя степени \(n = k+1\):

\[49^{k+1}-1=49\cdot 49^k-1.\]

Прибавим и вычтем \(49\):

\[49\cdot 49^k-49+48=49\cdot(49^k-1)+48.\]

Подставляя индукционное предположение, получаем:

\[49\cdot(49^k-1)+48=49\cdot 48m+48.\]

Выносим \(48\) за скобки:

\[48\cdot(49m+1).\]

Так как \(49m+1\) — целое число, то всё выражение делится на \(48\).

Вывод.

Так как выполнены база и индукционный переход, то разность \(49^n-1\) кратна \(48\) при любом натуральном \(n\).