Упражнение 663 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(S_{10}=100\),   \(S_{30}=900\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\(\begin{cases} S_{10} = \dfrac{2a_1 + d(10-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{10}  ^{\color{blue}{5}} ,\\[6pt] S_{30} = \dfrac{2a_1 + d(30-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{30}  ^{\color{blue}{15}} \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2a_1 + 9d)\cdot5=100,   / : 5\\[6pt] (2a_1 + 29d)\cdot 15=900    / : 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2a_1 + 9d=20, \\[6pt] 2a_1 + 29d=60 \end{cases}\)  \((-)\)

1) \((2a_1 + 9d) - (2a_1 + 29d) = 20 - 60\)

\(\cancel{2a_1} + 9d - \cancel{2a_1} - 29d = -40\)

\(-20d = -40\)

\(d = \frac{-40}{-20}\)

\(d = 2\)

2) \(2a_1 + 9\cdot2=20\)

\(2a_1 + 18=20\)

\(2a_1 =20-18\)

\(2a_1 = 2\)

\(a_1 = 1\)

\(S_{40} = \frac{2\cdot1 + 2\cdot(40-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{40}  ^{\color{blue}{20}}  =\)

\(=(2 + 2\cdot39)\cdot 20=\)

\(=(2 + 78)\cdot20=80\cdot20= 1600\)

Ответ: \(S_{40} = 1600\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\).

2) Если известны суммы для разных значений \(n\), можно составить систему уравнений относительно \(a_1\) и \(d\).

Как решается задача.

По условиям задачи составляются два уравнения для сумм \(S_{10}\) и \(S_{30}\). Вычитая их, удобно найти разность прогрессии \(d\). После этого определяется первый член \(a_1\), и по формуле суммы находится \(S_{40}\).

\[1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac13\,n(n+1)(n+2)\]

1) При \(n = 1\):

\[1\cdot 2=\frac13\cdot1\cdot(1+1)(1+2)\]

\[ 2=\frac{1}{\cancel3}\cdot2\cdot\cancel3\]

\(2 = 2\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) равенство верно:

\[1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+k(k+1)=\frac13\,k(k+1)(k+2)\]

При \(n = k+1\):

\(1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)+(k+1)(k+2)=\)

\(=\frac13\,k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=\)

\(=(k+1)(k+2)\left(\frac13\,k+1\right)=\)

\(=(k+1)(k+2)\cdot\frac{1}{3}(k+3)=\)

\(=\frac13\,(k+1)(k+2)(k+3).\)

Равенство верно при \(n = k + 1\), значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Математическая индукция. Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:

1)) проверить верность при \(n=1\) (база индукции);

2) предположить, что утверждение верно при некотором \(n = k\) (индукционное предположение), и доказать, что тогда оно верно при \(n=k+1\) (индукционный переход).