Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№639 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Вычислите первые несколько членов последовательности \((y_n)\), если:
а) \(y_1=-3,\; y_{n+1}-y_n=10\);
б) \(y_1=10,\; y_{n+1}\cdot y_n=2{,}5\);
в) \(y_1=1{,}5,\; y_{n+1}-y_n=n\);
г) \(y_1=-4,\; y_{n+1}:y_n=-n^2.\)
№639 учебника 2014-2022 (стр. 167):
На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины равно \(2{,}0\cdot10^4\ \text{м}^3\)?
№639 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Вспомните:
№639 учебника 2014-2022 (стр. 167):
№639 учебника 2023-2026 (стр. 182):
а) \(y_1=-3,\; y_{n+1}-y_n=10\)
\(y_{n+1}=y_n+10\)
\(y_1=-3\)
\(y_{1+1} = y_2=y_1+10=-3+10=7\)
\(y_{2+1} =y_3=y_2+10=7+10=17\)
\(y_{3+1} =y_4=y_3+10=17+10=27\)
\(y_{4+1} =y_5=y_4+10=27+10=37\)
б) \(y_1=10,\; y_{n+1}\cdot y_n=2{,}5\)
\( y_{n+1}=\frac{2{,}5}{y_n}\)
\(y_1=10\)
\(y_{1+1} =y_2= \frac{2{,}5}{y_1}= \frac{2{,}5}{10}=0,25\).
\(y_{2+1} =y_3= \frac{2{,}5}{y_2}= \frac{2{,}5}{0,25}=\frac{250}{25}=\)
\(=10\).
\(y_{3+1} =y_4= \frac{2{,}5}{y_3}= \frac{2{,}5}{10}=0,25\).
\(y_{4+1} =y_5= \frac{2{,}5}{y_4}= \frac{2{,}5}{0,25}=\frac{250}{25}=\)
\(=10\).
в) \(y_1=1{,}5,\; y_{n+1}-y_n=n\)
\(y_{n+1}=y_n+n\)
\(y_1=1{,}5\)
\( y_{1+1} = y_2=y_1+1=1{,}5+1=2{,}5\)
\( y_{2+1} = y_3=y_2+2=2{,}5+2=4{,}5\)
\( y_{3+1} = y_4=y_3+3=4{,}5+3=7{,}5\)
\( y_{4+1} = y_5=y_4+4=7{,}5+4=\)
\(=11{,}5\)
г) \(y_1=-4,\; y_{n+1}:y_n=-n^2\)
\(y_{n+1}=y_n\cdot(-n^2)\)
\(y_1=-4\)
\(y_{1+1} = y_2=y_1\cdot(-1^2)=\)
\(=-4\cdot(-1)=4\).
\(y_{2+1} =y_3=y_2\cdot(-2^2)=\)
\(=4\cdot(-4)=-16\).
\(y_{3+1} =y_4=y_3\cdot(-3^2)=\)
\(=-16\cdot(-9)=144\).
\(y_{4+1} =y_5=y_4\cdot(-4^2)=\)
\(=144\cdot(-16)=-2304\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Если задано равенство вида
\(y_{n+1}-y_n=d\), то каждый следующий член находится прибавлением числа \(d\) к предыдущему.
2) Если задано равенство вида
\(y_{n+1}\cdot y_n=q\), то каждый следующий член находится делением числа \(q\) на предыдущий член.
3) Если \(y_{n+1}:y_n=-n^2\), то
\(y_{n+1}=y_n\cdot(-n^2)\).
№639 учебника 2014-2022 (стр. 167):
\(b_n=b_1q^{n-1}\)
\(b_1 = 2{,}0\cdot10^4,\ q = 1{,}1\).
\(b_7 = b_1\cdot q^{6}\)
\(b_7 = 2{,}0\cdot10^4\cdot(1{,}1)^6=\)
\(= 2{,}0\cdot10^4\cdot1{,}771561 =\)
\(=35431{,}22 \approx 3{,}54\cdot10^4\ \text{м}^3\).
Пояснения:
Ежегодный прирост древесины на 10% означает, что каждый год её количество увеличивается в одинаковое число раз. Такая зависимость описывается геометрической прогрессией.
Основные правила и формулы:
\[ q = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1, \]
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}, \]
где \(b_1\) — первоначальное количество древесины, \(q\) — коэффициент роста, \(n\) — номер года.
В данной задаче начальный объём древесины соответствует первому члену прогрессии. Через 6 лет будет седьмой член прогрессии, так как первый год считается исходным моментом.
После подстановки значений выполняется возведение числа \(1{,}1\) в шестую степень и умножение на первоначальный объём. Полученный результат округляется до разумной точности.
Ответ: примерно \(3{,}54\cdot10^4\ \text{м}^3\).
Вернуться к содержанию учебника