Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№636 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Пусть \((u_n)\) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_1=1\), \(u_2=1\), \(u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\) при \(n\ge 2\). Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:
а) \(u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}\);
б) \(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}\).
№636 учебника 2014-2022 (стр. 166):
Найдите шестой член геометрической прогрессии \((b_n)\), если известно, что \(b_2 = 6,\ b_4 = 24\).
№636 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Вспомните:
№636 учебника 2014-2022 (стр. 166):
Вспомните:
№636 учебника 2023-2026 (стр. 182):
\((u_n)\) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_1=1\), \(u_2=1\), \(u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\) при \(n\ge 2\).
Доказать:
а) \(u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}\);
б) \(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}\).
Доказательство:
а) 1) При \(n=1\):
\(u_1 = u_{2\cdot1}=u_2 = 1\) - верно.
2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:
\[u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}=u_{2k}.\]
При \(n = k+1\):
\(u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}+u_{2(k + 1)-1}=u_{2k}+u_{2(k + 1)-1}=\)
\(=u_{2k}+u_{2k + 2-1}=\)
\(=u_{2k}+u_{2k + 1}=u_{2k + 2}=u_{2(k + 1)}\).
Свойство верно при \(n = k + 1\), значит, последовательность обладает этим свойством при любом натуральном \(n\).
б) 1) При \(n=1\):
\[u_1^2=u_1\cdot u_{1+1}\]
\[u_1^2=u_1\cdot u_{2}\]
\[1^2=1\cdot 1.\]
\(1 = 1\) - верно.
2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:
\[u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2=u_k\cdot u_{k+1}.\]
При \(n = k+1\):
\(u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2+u_{k+1}^2=\)
\(=u_k\cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2=\)
\[=u_{k+1}(u_k+u_{k+1})=\]
\[=u_{k+1}\cdot u_{k+2}.\]
Свойство верно при \(n = k + 1\), значит, последовательность обладает этим свойством при любом натуральном \(n\).
Пояснения:
Математическая индукция:
Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:
а) доказать (или проверить) его при \(n=1\);
б) предположить верность при \(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).
№636 учебника 2014-2022 (стр. 166):
\(b_2 = 6,\ b_4 = 24\)
1. \(|b_3|=\sqrt{b_2\cdot b_4}=\sqrt{6\cdot24}=\)
\(=\sqrt{144}=12.\)
\(b_3=12\) или \(b_3=-12\)
2. \(q=\frac{b_3}{b_2}\)
Тогда:
\(q=\frac{12}{6}=2\)
или
\(q=\frac{-12}{6}=-2.\)
3. \(b_n=b_1q^{n-1}.\)
\(b_2=b_1q⇒b_1=\frac{b_2}{q}\)
Тогда:
\(b_1=\frac{6}{2}=3\)
или
\(b_1=\frac{6}{-2}=-3.\)
4. \(b_6=b_1q^5\)
При \(b_1=3; \; q=2:\)
\(b_6=3\cdot 2^5=96.\)
При \(b_1=-3; \; q=-2:\)
\(b_6=(-3)\cdot(- 2)^5=96.\)
Ответ: \(b_6=96\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:
\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно, \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)
Вернуться к содержанию учебника