Упражнение 626 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\small \dfrac{2^{n+2}-2^{n-2}}{2^n} =\dfrac{2^{n}\cdot2^2-2^{n}\cdot2^{-2}}{2^n}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{2^{n}}(2^2-2^{-2})}{\cancel{2^n}}=4-\frac14=3\frac34\)

б) \(\small \dfrac{25^n-5^{2n-1}}{5^{2n}} = \dfrac{5^{2n}-5^{2n-1}}{5^{2n}} =\)

\(\small = \dfrac{\cancel{5^{2n}}(1-5^{-1})}{\cancel{5^{2n}}} =1-\frac15=\frac45.\)

Пояснения:

Используемые правила степеней:

\(a^{m+k}=a^m\cdot a^k\)

\(\frac{a^m}{a^k}=a^{m-k}\)

\(a^{-m}=\frac{1}{a^m}\)

В пункте а) из числителя выносится степень \(2^{n}\), после чего выполняется сокращение дроби на \(2^n\).

В пункте б) число \(25^n\) заменяется на \(5^{2n}\), затем в числителе выносится общий множитель \(5^{2n}\) и выполняется сокращение с знаменателем.

В обоих пунктах дроби приводятся к виду, не содержащему степеней с переменной.

а)  \(1{,}5;\ 2{,}5;\ 3{,}5;\ldots\); 

\(a_1 = 1{,}5;\ a_2 = 2{,}5; \ a_3 = 3{,}5\)

\(d=a_2-a_1=2,5-1,5=1.\)

\( a_4=a_3+d=3,5+1 = 4{,}5\)

\(a_5=a_4+d=4,5+1 = 5{,}5\).

Точки на координатной плоскости:

\(\small(1;1{,}5),\ (2;2{,}5),\ (3;3{,}5),\ (4;4{,}5),\ (5;5{,}5).\)

б) \(8;\ 4;\ 2;\ldots\)

\(b_1 = 8;\ b_2 = 4; b_3 = 2\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{8}=\frac12\)

\( b_4 = b_3 \cdot q=2\cdot\frac12=1;\)

\(b_5 =b_4 \cdot q=1\cdot\frac12= 0{,}5\).

Точки на координатной плоскости: \((1;8),\ (2;4),\ (3;2),\ (4;1),\ (5;0{,}5)\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии.

В пункте а) разность равна: \[ d = 2{,}5 - 1{,}5 = 1. \] Поэтому каждый следующий член увеличивается на 1, что позволяет найти первые пять членов последовательности.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

В пункте б) знаменатель равен: \[ q = \dfrac{4}{8} = \dfrac12. \] Это означает, что каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего.

Для изображения на координатной плоскости по оси \(x\) откладывается номер члена прогрессии, а по оси \(y\) — значение соответствующего члена. Полученные пары чисел записываются в виде координат точек.