Упражнение 499 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} 3x-4y=-2,\\ 3x+y^2=10,\\ x^2-y^2-x+y=100 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x-4y=-2,\\ 3x+y^2=10 \end{cases}\)   \((-)\)

\((3x - 4y) - (3x + y^2) = -2 - 10\)

\(\cancel{3x} - 4y - \cancel{3x} - y^2 = -12\)

\(-4y - y^2 + 12 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(y^2 + 4y - 12 = 0\)

\(D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = \)

\(= 16 + 48 = 64 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{64} = 8\).

\(y_1 = \frac{-4 + 8}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(y_2 = \frac{-4 - 8}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\).

1) Если \(y=2\), то

\(3x - 4\cdot2 = -2\)

\(3x - 8 = -2\)

\(3x = -2 + 8\)

\(3x = 6\)

\(x = \frac63\)

\(x = 2\)

2) Если \(y=-6\), то

\(3x - 4\cdot(-6) = -2\)

\(3x + 24 = -2\)

\(3x = -2 -24\)

\(3x = -26\)

\(x = \frac{-26}{3}\)

\(x = -8\frac23\)

\((2;\, 2)\) и \(\left(-8\frac23;\, -6\right)\) - решения первого и второго уравнения.

Проверим третье уравнение:

\(x^2-y^2-x+y=100\)

Если \(x = 2\), \(y = 2\), то

\(2^2-2^2-2+2=100\)

\(4 - 4 - 2 + 2 = 100\)

\(0 = 100\) - неверно.

\((2;\, 2)\) - не является решением третьего уравнения.

Если \(x = -8\frac23\), \(y = -6\), то

\(\left(-8\frac23\right)^2-(-6)^2-\left(-8\frac23\right)+(-6)=100\)

\(\left(\frac{26}{3}\right)^2-36+\frac{26}{3}-6=100\)

\(\frac{676}{9}+\frac{26}{3} ^{\color{blue}{\backslash3}} -42 ^{\color{blue}{\backslash9}} =100\)

\(\frac{676}{9}+\frac{78}{9}-\frac{378}{9}=100\)

\(\frac{376}{9}=100\) - неверно.

\(\left(-8\frac23;\, -6\right)\) - не является решением третьего уравнения.

Ответ: система решений не имеет.

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство.

Сначала способом вычитания (сложения) решаем систему из двух первых уравнений исходной системы, затем проверяем являются ли решения этой системы решениями третьего уравнения исходной системы.

Использованные правила и приёмы:

Квадратное уравнение

\(ay^2+by+c=0\)

решаем через дискриминант

\(D=b^2-4ac.\)

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

В данной задаче первые два уравнения образуют систему из линейного и квадратного уравнений. Она имеет два решения. Однако система содержит третье уравнение, которое накладывает дополнительное ограничение. Подстановка найденных пар \((x,y)\) показывает, что ни одна из них не удовлетворяет третьему уравнению.

Следовательно, данная система уравнений не имеет решений.

а) \( \begin{cases} x \ge 0,\\ y \ge 0. \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} x \le 0,\\ y \le 0. \end{cases} \)

Пояснения:

1. Координатные четверти определяются знаками координат точки:

- I четверть: \(x > 0,\ y > 0\); включая оси → \(x \ge 0,\ y \ge 0\);

- III четверть: \(x < 0,\ y < 0\); включая оси → \(x \le 0,\ y \le 0\).

2. Ось абсцисс входит тогда, когда разрешено \(y = 0\); ось ординат входит, когда разрешено \(x = 0\).

3. Поэтому системы задают точно те области, которые требуются в условии.