Упражнение 311 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a = 0, \]

где \(a, b, c\) — некоторые числа, \(a \ne 0\),

\(m\) — корень данного уравнения, т.е.

\( a m^{4} + b m^{3} + c m^{2} + b m + a = 0\) - верное равенство.

\(\dfrac{1}{m}\) - обратное число.

\( a\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{4} + b\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{3} + c\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{2} + b\cdot\frac{1}{m} + a = 0\)

\(a\cdot\frac{1}{m^4} + b\cdot\frac{1}{m^3} + c\cdot\frac{1}{m^2} + b\cdot\frac{1}{m} + a = 0\)\(/\times m^4\)

\(a+bm + cm^2 + bm^3 + am^4=0\) - верное равенство, значит, \(\dfrac{1}{m}\) является корнем уравнения.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Число \(m\) — корень уравнения

\(P(x)=0\), если подстановка \(x=m\) обращает многочлен \(P(x)\) в ноль: \[ P(m)=0. \]

Уравнение \[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a=0 \] называется возвратным: коэффициенты при \(x^{4}\) и \(x^{0}\) равны (\(a\) и \(a\)), при \(x^{3}\) и \(x^{1}\) равны (\(b\) и \(b\)); «симметричность» по степеням.

Чтобы проверить, является ли \(\dfrac{1}{m}\) корнем, мы подставляем его в уравнение. Возникают дроби с разными степенями \(m\), но все их можно привести к общему знаменателю \(m^{4}\) и домножить равенство на \(m^4\), учитывая то, что \(m\) не равно нулю, так как для него существует обратное число. При этом после умножения равенства на \(m^4\) получается то же самое равенство, что и при подстановке \(x=m\), только записанным в обратном порядке, которое является верным по условию. Тем самым доказано: если число \(m\) — корень возвратного уравнения четвёртой степени с ненулевым коэффициентом при старшей и свободной степени, то обратное ему число \(\dfrac{1}{m}\) тоже является его корнем.

а) \(2x^2 + tx + 18 = 0\)

\(D = t^2 - 4\cdot 2 \cdot 18 = t^2 - 144\)

\(t^2 - 144 < 0\)

\(y = t^2 - 144\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(t^2 - 144 = 0\)

\(t^2 = 144\)

\(t = \pm \sqrt{144}\)

\(t = \pm 12\)

Ответ: \(t\in (-12; 12)\).

б) \(4x^2 + 4tx + 9 = 0\)

\(D = (4t)^2 - 4\cdot 4 \cdot 9 = 16t^2 - 144\)

\(16t^2 - 144 < 0\)

\(y = 16t^2 - 144\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(16t^2 - 144 = 0\)

\(16t^2 = 144\)

\(t^2 = \frac{144}{16}\)

\(t^2 = 9\)

\(t = \pm \sqrt9\)

\(t = \pm3\)

Ответ: \(t\in (-3; 3)\).

Пояснения:

Основное правило:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) не имеет корней, если его дискриминант отрицателен:

\[D = b^2 - 4ac < 0.\]

Решение неравенств вида

\(ax^2 + с > 0\):

1) находим корни уравнения

\(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем

\(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).