Упражнение 285 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x + 8)(x - 5) > 0\)

\((x + 8)(x - 5) = 0\)

\(x + 8 = 0\)   или   \(x - 5 = 0\)

\(x = -8\)                \(x = 5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -8) \cup (5; +\infty)\).

б) \((x - 14)(x + 10) < 0\)

\((x - 14)(x + 10) = 0\);

\(x - 14 = 0\)   или   \(x + 10 = 0\)

\(x = 14\)                   \( x = -10\).

Ответ: \(x \in (-10; 14)\).

в) \((x - 3{,}5)(x + 8{,}5) \ge 0\)

\((x - 3{,}5)(x + 8{,}5) = 0\)

\(x - 3{,}5 = 0\)   или   \(x + 8{,}5 = 0\)

\(x = 3{,}5\)                   \(x = -8{,}5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -8,5] \cup [3,5; +\infty)\).

г) \(\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) \le 0\)

\(\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) = 0\)

\(x + \frac{1}{3}= 0\)   или   \(x + \frac{1}{8}=0\)

\(x = -\frac13\)                \(x = -\frac18\)

Ответ: \( x \in \left[-\frac13; -\frac18\right]\).

Пояснения:

1. Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

2. Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

3. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

4. Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \( 3x^{2} - 25x - 28. \)

\(a = 3\),  \(b = -25\),  \(c = -28\)

\(D = b^2 - 4ас=\)

\(= (-25)^2 - 4\cdot3\cdot(-28) = \)

\(=625 + 336 = 961 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 31.\)

\(x_{1} = \frac{25 + 31}{2\cdot 3} =\frac{56}{6} = \frac{28}{3} \).

\(x_{2} = \frac{25 - 31}{2\cdot 3} =\frac{-6}{6} = -1\).

\( 3x^{2} - 25x - 28 =\)

\(=3(x - \frac{28}{3}) (x + 1)=\)

\(= (3x - 28) (x + 1).\)

б) \( 2x^{2} + 13x - 7. \)

\(a = 2\),  \(b = 13\),  \(c = -7\)

\(D = b^2 - 4ас=\)

\(= 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) =\)

\(=169 + 56 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 15.\)

\(x_{1} = \frac{-13 + 15}{2\cdot 2} =\frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

\(x_{2} = \frac{-13 - 15}{2\cdot 2} =\frac{-28}{4} = -7 \).

\( 2x^{2} + 13x - 7 =\)

\(=2(x - \frac12)(x + 7)=\)

\(=(2x - 1)(x + 7). \)

Пояснения:

При разложении на множители, помним, если дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители

\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

Также, если при разложении в множителях получаются дроби, можно, используя распределительное свойство умножения, избавиться от дробей, умножив выражение в скобке на \(a\).