Упражнение 190 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}\)

\(f(x)=\frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{x-3}} =\)

\(f(x)=x+3,\quad x\ne 3 \) - прямая с "выколотой" точкой при \(x = 3\).

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; 6) \cup (6; + \infty)\).

3. \(f)x) = 0\) при \(x = -3\)

4. \(f(x) > 0\) при

\(x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)\),

\(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; -3)\).

5. Функция возрастает на \(D(f)\).

6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

б) \( f(x)=\frac{x^{2}-6x-7}{x+1} \)

\(f(x)=\frac{x^{2}+x-7x-7}{x+1}\)

\(f(x)=\frac{x(x+1)-7(x+1)}{x+1}\)

\(f(x) = \frac{(x-7)\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+1}} \)

\(f(x)=x-7,\quad x\ne -1 \) - прямая с "выколотой" точкой при \(x = -1\).

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; + \infty)\).

3. \(f)x) = 0\) при \(x = 7\)

4. \(f(x) > 0\) при \((7; +\infty)\),

\(f(x) < 0\) при

\(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 7)\).

5. Функция возрастает на \(D(f)\).

6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

Пояснения:

Правила разложения.

Если числитель раскладывается на множители и один из них совпадает с знаменателем, то можно сократить выражение, но при этом обязательно сохраняется ограничение: точка, в которой знаменатель равен нулю, исключается из графика.

Пояснение к пункту а.

Начинаем с разложения:

\[ x^{2}-9=(x-3)(x+3). \]

После сокращения получается линейная функция, однако исходная функция не определена при \(x=3\). Поэтому график — прямая \(y=x+3\), на которой отсутствует точка \((3,6)\).

3. Пояснение к пункту б.

Разложение:

\[ x^{2}-6x-7=(x-7)(x+1). \]

После сокращения получаем линейную функцию \(y=x-7\), но исходная функция не определена при \(x=-1\), поэтому в графике отсутствует точка \((-1,-8)\).

Основные свойства функций:

1. Область определения \(D(f)\).

2. Множество значений \(E(f)\).

3. Нули функции - значения аргумента (\(x\)), при которых функция (\(y\)) обращается в нуль.

4. Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет знак (на промежутках, расположенных выше оси \(x\) функция принимает положительные значения, на промежутках, расположенных ниже оси \(x\) функция принимает отрицательные значения).

5. Промежутки монотонности функции - промежутки возрастания и убывания функции. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то - убывающей функцией.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции, если существуют.

7. Четность/нечетность функции.

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

а) \( 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)

\( 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} \)

\( 0{,}2^{0{,}5} = \sqrt{0{,}2} \)

\( 7^{-0{,}25} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{7}} \)

б) \( x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3} \)

\( a^{1{,}2} = a^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{a^6} \)

\( b^{-0{,}8} = b^{-\frac{4}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt[5]{b^4}} \)

\( c^{2\frac{2}{3}} = c^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{c^8} \)

в) \( 5a^{\frac{1}{3}} = 5\sqrt[3]{a} \)

\( ax^{\frac{3}{5}} = a\sqrt[5]{x^3} \)

\( -b^{-1{,}5} = -b^{-\frac{3}{2}} = -\dfrac{1}{\sqrt{b^3}} \)

\( (2b)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2b} \)

г) \( (x - y)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x - y)^2} \)

\( x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2} \)

\( 3(a + b)^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{(a + b)^3} \)

\( 4a^{\frac{2}{3}} + ax^{\frac{2}{3}} = 4\sqrt[3]{a^2} + a\sqrt[3]{x^2} \)

Пояснения:

Основное правило:

\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]

Отрицательная степень:

\[ a^{-k} = \frac{1}{a^k} \]

Десятичные показатели:

Переводим в дроби:

\( 0{,}5 = \frac{1}{2}, \; 0{,}25 = \frac{1}{4}, \; 1{,}2 = \frac{6}{5}, \; 0{,}8 = \frac{4}{5}, \; 1{,}5 = \frac{3}{2} \)

Смешанные числа:

\[ 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \]

Пояснение к заданиям:

В каждом выражении показатель степени представляется в виде дроби, затем применяется формула корня.

Если показатель отрицательный — результат записывается в виде дроби с единицей в числителе.

Если есть коэффициенты (например, 5 или 3), они остаются перед корнем.

Таким образом, любое выражение со степенью можно представить через корень.