Упражнение 194 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y=ax^{2}\) и \(y=ax\), где \(a\ne 0\)

\( ax^{2}=ax \)   \(/ : a\)

\( x^{2}=x \)

\( x^{2}-x=0 \)

\( x(x-1)=0 \)

\( x=0\)   или   \( x-1=0 \)

                      \(x = 1\)

1) При \(x=1\):

\(y=a\cdot 1=a. \)

Точка пересечения \((1;\,a)\). Что и требовалось доказать.

2) При \(x=0\):

\( y=a\cdot 0=0 \)

Точка пересечения: \((0;\,0)\).

Ответ: графики пересекаются в точках \((1;\,a) \) и \((0;\,0). \)

Пояснения:

1. Идея решения.

Точки пересечения двух графиков находятся из уравнения равенства их значений: \[ ax^{2}=ax. \] Так как \(a\ne 0\), можно сократить на \(a\), получив квадратное уравнение.

2. Почему всегда есть две точки пересечения?

— \(y=ax\) — прямая через начало координат. — \(y=ax^{2}\) — парабола с вершиной в начале координат. Обе функции при любом \(a\ne 0\) обязательно проходят через \((0;0)\). А второе пересечение — при \(x=1\).

3. Проверка:

Подставляем точку \((1;a)\) в обе функции:

\( y=ax^{2}=a\cdot 1^{2}=a, \)

\(y=ax=a\cdot 1=a. \)

Значения совпадают — точка общая.

а) \( (a^{0{,}4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0{,}8} = a^{0{,}4 \cdot \frac{1}{2}} \cdot a^{0{,}8} =\)

\(= a^{0{,}2} \cdot a^{0{,}8} = a^{1} = a \)

б) \( (x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1{,}6} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}} \cdot x^{\frac{8}{5}} =\)

\(= x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{8}{5}} = x^{\frac{11}{5}} \)

в) \( a(a^{-1{,}2})^{\frac{3}{4}} = a \cdot a^{-1{,}2 \cdot \frac{3}{4}} = a \cdot a^{-\frac{9}{10}} =\)

\(=a^{1 -\frac{9}{10}} = a^{\frac{1}{10}} \)

г) \( (a^{0{,}8})^{-\frac{3}{4}} \cdot (a^{-\frac{2}{5}})^{-1{,}5} = a^{0{,}8 \cdot (-\frac{3}{4})} \cdot a^{-\frac{2}{5} \cdot (-1{,}5)} =\)

\(= a^{-0{,}6} \cdot a^{0{,}6} = a^{0} = 1 \)

Пояснения:

Основные свойства степеней:

Для любого \(a>0\) и любых рациональных чисел \(p\) и \(q\):

\(a^pa^q=a^{p+q},\)

\((a^p)^q=a^{pq}.\)