Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1006 учебника 2023-2025 (стр. 226):
Докажите, что при \(a>0\) и \(b>0\) верно неравенство:
а) \((a+b)(ab+16)\ge 16ab;\)
б) \((a^{2}+4b)(4b+25)\ge 80ab.\)
№1006 учебника 2013-2022 (стр. 221):
Преобразуйте выражение:
а) \(\dfrac{13x^{-2}}{y} \cdot \dfrac{y^{12}}{39x^{-3}}\);
б) \(\dfrac{5a^{5}}{b^{-7}} \cdot \dfrac{7b^{-3}}{25a}\);
в) \(\dfrac{p}{3c^{-2}} \cdot \dfrac{15c}{p^{-2}}\);
г) \(\dfrac{26x^{17}}{y^{-8}} \cdot \dfrac{y}{13x^{25}}\).
№1006 учебника 2023-2025 (стр. 226):
Вспомните:
№1006 учебника 2013-2022 (стр. 221):
Вспомните:
№1006 учебника 2023-2025 (стр. 226):
а) \((a+b)(ab+16)\ge 16ab,\)
\(a>0\) и \(b>0\).
\(\frac{a + b}{2} \ge \sqrt {ab}\),
\(\frac{ab + 16}{2} \ge \sqrt {16ab}\)
Перемножаем неравенства:
\(\frac{a + b}{2} \cdot \frac{ab + 16}{2} \ge \sqrt {ab} \cdot \sqrt {16ab}\)
\(\frac{(a + b)(ab + 16)}{4} \ge \sqrt {16a^2b^2}\)
\(\frac{(a + b)(ab + 16)}{4} \ge 4ab\) \(/\times 4\)
\((a + b)(ab + 16) \ge 16ab\)
Что и требовалось доказать.
б) \((a^{2}+4b)(4b+25)\ge 80ab,\)
\(a>0\) и \(b>0\).
\(\frac{a^2 + 4b}{2} \ge \sqrt {4a^2b}\)
\(\frac{4b + 25}{2} \ge \sqrt{100b}\)
Перемножаем неравенства:
\(\frac{a^2 + 4b}{2} \cdot \frac{4b + 25}{2} \ge \sqrt {4a^2b}\cdot\sqrt{100b}\)
\(\frac{(a^2 + 4b)(4b + 25)}{4} \ge \sqrt {400a^2b^2}\)
\(\frac{(a^2 + 4b)(4b + 25)}{4} \ge 20ab\) \(/\times4\)
\((a^2 + 4b)(4b + 25) \ge 80ab\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
При доказательстве используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел: среднее арифметическое любых двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.
Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, делённой на 2.
Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.
Также при доказательстве используем то, что:
- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство;
- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Свойства арифметического корня:
\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\),
\(\sqrt{a^2} = a\) при \(a \ge 0\).
№1006 учебника 2013-2022 (стр. 221):
а) \( \dfrac{ ^{\color{blue}{1}} \cancel{13}x^{-2}}{y} \cdot \dfrac{y^{12}}{ _ {\color{blue}{3}} \cancel{ 39}x^{-3}} =\)
\(=\frac13x^{-2-(-3)} \cdot y^{12-1} =\)
\(=\dfrac{1}{3}x^{-2+3}y^{11} = \dfrac{1}{3}xy^{11}. \)
б) \( \dfrac{^{\color{blue}{1}} \cancel{5}a^{5}}{b^{-7}} \cdot \dfrac{7b^{-3}}{_{\color{blue}{5}} \cancel{25}a} =\frac75a^{5-1}b^{-3-(-7)}=\)
\(=1\frac25a^4b^{-3+7} =1\frac25a^4b^{4} . \)
в) \(\dfrac{p}{\cancel{3}c^{-2}} \cdot \dfrac{^{\color{blue}{5}} \cancel{15}c}{p^{-2}} =5p^{1-(-2)}c^{1-(-2)}=\)
\(= 5p^{1+2}c^{1+2}= 5p^{3}c^{3}. \)
г) \( \dfrac{^{\color{blue}{2}} \cancel{26}x^{17}}{y^{-8}} \cdot \dfrac{y}{\cancel{13}x^{25}} =\)
\(=2x^{17-25}y^{1-(-8)} = \)
\(=2x^{-8}y^{1+8} = 2x^{-8}y^{9}=\frac{2y^9}{x^8}. \)
Пояснения:
Используемые свойства степеней:
\( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \)
\(\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \)
\(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}. \)
Вернуться к содержанию учебника