Упражнение 977 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x - 0,8 > 0, \\ -5x < 10   / : (-5) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 0,8, \\ x > -2 \end{cases}\)

Ответ: \((0,8; +\infty)\), числа \(1; 10; 150\).

б) \(\begin{cases} 2 - x \leq 0, \\ x - 4 \leq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq 2, \\ x \leq 4 \end{cases}\)

Ответ: \([2; 4]\), числа \(2; 3; 3,8\).

в) \(\begin{cases} 1 > 3x, \\ 5x - 1 > 0; \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x < 1,  / : 3 \\ 5x > 1  / : 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac13, \\ x > \frac15 \end{cases}\)

Ответ: \(( \frac15; \frac13)\), числа \(\frac14; \frac{4}{15}; \frac{7}{30}\).

г) \(\begin{cases} 10x < 2, / : 10 \\ x > 0,1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 0,2, \\ x > 0,1 \end{cases}\)

Ответ: \((0,1; 0,2)\), числа \(0,13; 0,175; 0,19\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(6 \cdot 12^{-1} = 6 \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{ {\cancel6^{\color{red}{1}}} }{ \cancel{12}_{\color{red}{2}} }=\)

\(\dfrac12= 0{,}5\).

б) \(-4 \cdot 8^{-2} = -4 \cdot \dfrac{1}{8^2} = -\dfrac{{\cancel4^{\color{red}{1}}}}{\cancel{64}_{\color{red}{16}} } =\)

\(=-\dfrac{1}{16}\).

в) \(6^{-1} - 3^{-2} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3^2} =\)

\(=\dfrac{1}{6}^ {\color{blue}{\backslash3}} - \dfrac{1}{9}^ {\color{blue}{\backslash2}} = \dfrac{3}{18}-\dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{18}\).

г) \(1{,}3^0 - 1{,}3^{-1} = 1 - (\dfrac{13}{10})^{-1} =\)

\(=1 - \dfrac{10}{13} = \dfrac{13}{13} - \dfrac{10}{13}=\dfrac{3}{13}\).

д) \(12 - \left(\dfrac{1}{6}\right)^{-1} = 12 - 6 = 6\).

е) \(25 + 0{,}1^{-2} = 25 + (\dfrac{1}{10})^{-2} =\)

\(=25 + 10^2 = 25 + 100 = 125\)

Пояснения:

Основные правила степеней:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a^0 = 1,\)

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}. \)

1. Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть и показатель степени сделать положительным.

2. Если основание отрицательное, знак в результате зависит от чётности степени (при чётной — результат положительный, при нечётной — отрицательный).

3. Нулевая степень любого ненулевого числа равна 1.