Упражнение 982 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{3 - 2x} + \sqrt{1 - x}\)

\(\begin{cases} 3 - 2x \geq 0, \\ 1 - x \geq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2x \geq -3,  / : (-2) \\ -x \geq -1   / : (-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq 1,5, \\ x \leq 1 \end{cases}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 1].\)

б) \(\sqrt{x} - \sqrt{3x - 1}\)

\(\begin{cases} x \geq 0, \\ 3x - 1 \geq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq 0, \\ 3x \geq 1   / : 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq 0, \\ x \geq \tfrac{1}{3}. \end{cases}\)

Ответ: \(x \in[\tfrac{1}{3}; +\infty).\)

в) \(\sqrt{6 - x} - \sqrt{3x - 9}\)

\(\begin{cases} 6 - x \geq 0, \\ 3x - 9 \geq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -x \geq -6,  / : (-1) \\ 3x \geq 9  / : 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq 6, \\ x \geq 3. \end{cases}\)

Ответ: \(x \in [3; 6].\)

г) \(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{6 - 4x}\)

\(\begin{cases} 2x + 2 \geq 0, \\ 6 - 4x \geq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x \geq -2,  / : 2 \\ - 4x \geq -6 / : (-4) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \geq -1, \\ x \leq 1,5. \end{cases}\)

Ответ: \(x \in [-1; 1,5].\)

Пояснения:

Для выражений с квадратным корнем необходимо выполнение условия: подкоренное выражение неотрицательно.

Поэтому каждое выражение преобразуется в систему неравенств. Решение системы даёт допустимые значения переменной.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\(y = (x - 2)^{-1} = \dfrac{1}{x - 2}\).

а) \(y > 0 \)

\(\dfrac{1}{x - 2} > 0\)

\(x - 2 > 0 \)

\(x > 2.\)

Ответ: при \(x \in (2; +\infty).\)

б) \(y < 0\)

\(\dfrac{1}{x - 2} < 0\)

\(x - 2 < 0\)

\(x < 2.\)

Ответ: при \(x \in(-\infty ; 2).\)

Пояснения:

Функция \(y = \dfrac{1}{x - 2}\) определена при \(x \ne 2\), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Знак значения функции совпадает со знаком знаменателя, так как числитель положительный (\(1 > 0\)).

Таким образом:

— при \(x > 2\) знаменатель положителен, значит \(y > 0\);

— при \(x < 2\) знаменатель отрицателен, значит \(y < 0\).

Точка \(x = 2\) не входит в область определения функции, поскольку знаменатель обращается в нуль.