Упражнение 978 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 0,4x - 1 \leq 0, \\ 2,3x \geq 4,6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,4x \leq 1,   / : 0,4 \\ 2,3x \geq 4,6  / : 2,3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq \frac{1}{0,4}, \\ x \geq \frac{4,6}{2,3} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq \frac{10}{4}, \\ x \geq \frac{46}{23} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq 2,5, \\ x \geq 2 \end{cases}\)

Ответ: \((2; 2,5)\).

б) \(\begin{cases} 0,7x - 2,1 < 0, \\ \tfrac{2}{3}x > 1  /\times3\end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,7x < 2,1,  / : 0,7 \\ 2x > 3  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{2,1}{0,7}, \\ x > \frac32 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 3, \\ x > 1,5 \end{cases}\)

Ответ: \((1,5; 3)\).

в) \(\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x + 1 < 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x < 6 - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,3x > 4,  / : 0,3 \\ 0,2x < 5  / : 0,2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > \frac{4}{0,3}, \\ x < \frac{5}{0,2} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > \frac{40}{3}, \\ x < \frac{50}{2} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 13\frac{1}{3}, \\ x < 25 \end{cases}\)

Ответ: \((13\frac{1}{3}; 25)\).

г) \(\begin{cases} \tfrac{5}{6}x - 10 \leq 0, \\ 3x \leq 1 \tfrac{1}{3} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \tfrac{5}{6}x \leq 10, \\ 3x \leq \tfrac{4}{3} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \tfrac{5}{6}x \leq 10,  /\times6 \\ 3x \leq \tfrac{4}{3}   /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x \leq 60, / : 5 \\ 9x \leq 4 / : 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq \frac{60}{5}, \\ x \leq \frac49 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq 12, \\ x \leq \frac49 \end{cases}\)

Ответ: \((- \infty; \frac49]\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(3x^{-5} = \dfrac{3}{x^5}\)

б) \(x^{-4}y = \dfrac{y}{x^4}\)

в) \(5a b^{-7} = \dfrac{5a}{b^7}\)

г) \(5(ab)^{-7} = \dfrac{5}{(ab)^7}=\dfrac{5}{a^7b^7}\)

д) \(x^{-1} c^{-3} = \dfrac{1}{x c^3}\)

е) \(-9yz^{-8} = -\dfrac{9y}{z^8}\)

ж) \(2(x + y)^{-4} = \dfrac{2}{(x + y)^4}\)

з) \(10x^{-1}(x - y)^{-3} = \dfrac{10}{x(x - y)^3}\)

Пояснения:

Правило. При отрицательном показателе степени используется свойство:

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \frac{1}{a^{-n}} = a^n. \]

То есть при переносе множителя из числителя в знаменатель (или наоборот) знак показателя степени меняется на противоположный.

Примеры:

— \(x^{-5}\) означает, что \(x^5\) нужно поместить в знаменатель: \(\dfrac{1}{x^5}\);

— если отрицательная степень стоит у произведения, например \((ab)^{-7}\), то всё произведение переносится в знаменатель: \(\dfrac{1}{(ab)^7}\);

— при нескольких множителях отрицательные степени переносятся в знаменатель, а положительные остаются в числителе.

Таким образом, после преобразований в каждом выражении остаются только положительные показатели степеней.