Упражнение 884 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5 \)

\(3+4 < a+b < 4+5\)

\(7 < a+b < 9\)

б) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5\)

\(a - b = a + (-b)\)

\(-5 < -b < -4\)

\(3+(-5) < a+(-b) < 4+(-4)\)

\(-2 < a-b < 0\)

в) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5 \)

\(3\cdot 4 < ab < 4\cdot 5\)

\(12 < ab < 20\)

г) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5 \)

\(\frac{a}{b} = a\cdot \frac1b\)

\(\frac15 < \frac1b < \frac14 \)

\(3\cdot\dfrac{1}{5} < a\cdot\dfrac{1}{b} < 4\cdot\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{3}{5} < \dfrac{a}{b} < 1\)

Пояснения:

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.

При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:

\(a - b = a + (-b)\).

При выполнении деления неравенств, учитываем то, что деление можно заменить умножением делимого на число обратное делителю: \(\frac{a}{b} = a\cdot \frac1b\).

Свойства числовых неравенств:

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный;

- если \(x\) и \(y\) - положительные числа и \(x < y\), то \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}\).

а) \(y=\dfrac{x-2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}}\)

\(\begin{cases} x+6\ge 0,\\ 2x-5\ge 0,\\ \sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}\ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge -6,\\ 2x\ge 5,   / : 5 \\ \sqrt{x+6}\neq\sqrt{2x-5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge -6,\\ x\ge 2,5, \\ x+6\neq2x-5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge -6,\\ x\ge 2,5, \\ x-2x\neq-5-6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge -6,\\ x\ge 2,5, \\ -x\neq-11  /\times(-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge -6,\\ x\ge 2,5, \\ x\neq11 \end{cases}\)

Ответ: \(x \in [2,5; 11) \cup (11; +\infty )\).

б) \(y=\dfrac{6}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}\)

\(\begin{cases} 2x-1\ge 0,\\ x+1\ge 0,\\ \sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}\ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x\ge 1,  / : 2 \\ x\ge -1,\\ \sqrt{2x-1}\neq\sqrt{x+1} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge 0,5, \\ x\ge -1,\\ 2x-1\neq x+1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge 0,5, \\ x\ge -1,\\ 2x-x\neq 1+1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x\ge 0,5, \\ x\ge -1,\\ x\neq 2 \end{cases}\)

Ответ: \(x \in [0,5; 2) \cup (2; + \infty )\).

Пояснения:

Для выражений с квадратным корнем необходимо выполнение условия: подкоренное выражение неотрицательно. Также у рациональных дробей знаменатель должен быть отличен от нуля.

Поэтому каждое выражение преобразуется в систему, состоящую из двух неравенств и уравнения. Решение системы даёт допустимые значения переменной.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

При решении уравнений корни переносим в разные части уравнения и возводим каждую часть уравнения в квадрат,учитывая то, что

\((\sqrt a)^2 = a\).