Упражнение 749 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2-2x-5=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -5\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-5)=\)

\(=4+20=24 \).

\(\sqrt D = \sqrt 24 = \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt6\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{\cancel2(1\pm \sqrt{6})}{\cancel2}=1\pm \sqrt{6} \).

Проверка:

Если \(x_1 = 1+ \sqrt{6} \), то

\((1+ \sqrt{6})^2 - 2\cdot(1+ \sqrt{6}) - 5 =0 \)

\(1 + 2\sqrt{6} + 6 - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Если \(x_2 = 1- \sqrt{6} \), то

\((1- \sqrt{6})^2 - 2\cdot(1- \sqrt{6}) - 5 =0 \)

\(1 - 2\sqrt{6} + 6 - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Ответ: \(1+ \sqrt{6} \);   \(1- \sqrt{6} \).

---

б) \(x^2+4x+1=0\)

\(a = 1\),  \(b = 4\),  \(c = 1\)

\( D=b^2 - 4ac=4^2 - 4\cdot1\cdot1=\)

\(=16-4=12 \).

\(\sqrt D = \sqrt 12 = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt3\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{\cancel2(-2\pm \sqrt{3})}{\cancel2}=-2\pm \sqrt{3} \)

Проверка:

Если \(x_1 = -2 + \sqrt{3} = \sqrt3 - 2 \), то

\(( \sqrt3 - 2)^2 + 4\cdot( \sqrt3 - 2) + 1 = 0\)

\(3 -4 \sqrt3 + 4 + 4\sqrt3 - 8 + 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Если \(x_2= -2 - \sqrt{3} = -(2+\sqrt3) \), то

\(( -(2+\sqrt3)^2 + 4\cdot( -2-\sqrt3) + 1 = 0\)

\(4 +4\sqrt3 + 3 -8 - 4\sqrt3 + 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Ответ: \(-2 + \sqrt{3}\),  \(-2 - \sqrt{3}\).

---

в) \(3y^2-4y-2=0\)

\(a = 3\),  \(b = -4\),  \(c = -2\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-4)^2-4\cdot 3\cdot (-2)=\)

\(=16+24=40 \)

\(\sqrt D = \sqrt 40 = \sqrt{4\cdot 10} = 2\sqrt10\)

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{4\pm 4\sqrt{10}}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{\cancel2(2\pm 2\sqrt{10})}{\cancel6_3}=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3} \).

Проверка:

Если \(y_1 = \frac{2+ \sqrt{10}}{3} \), то

\(3\cdot(\frac{2+ \sqrt{10}}{3})^2 -4\cdot\frac{2+ \sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\cancel3\cdot\frac{4+4\sqrt{10} + 10}{\cancel9_3}-\frac{8+ 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14+4\sqrt{10}}{3}-\frac{8+ 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14+4\sqrt{10} - 8 - 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac63 - 2 = 0\)

\(2 - 2 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Если \(y_2 = \frac{2- \sqrt{10}}{3} \), то

\(3\cdot(\frac{2- \sqrt{10}}{3})^2 -4\cdot\frac{2- \sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\cancel3\cdot\frac{4-4\sqrt{10} + 10}{\cancel9_3}-\frac{8- 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14-4\sqrt{10}}{3}-\frac{8- 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14-4\sqrt{10} - 8 + 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac63 - 2 = 0\)

\(2 - 2 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Ответ: \(\frac{2+ \sqrt{10}}{3}\); \(\frac{2- \sqrt{10}}{3}\).

---

г) \(5y^2-7y+1=0\)

\(a = 5\),  \(b = -7\),  \(c = 1\)

\( D=b^2 - 4ac=(-7)^2-4\cdot 5\cdot 1=\)

\(=49-20=29 \),    \(\sqrt D = \sqrt 29\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10} \)

Проверка:

Если \(y_1 = \frac{7+ \sqrt{29}}{10} \), то

\(5\cdot(\frac{7+ \sqrt{29}}{10})^2 -7\cdot\frac{7+ \sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\cancel5\cdot\frac{49+ 14\sqrt{29}+29}{\cancel{100}_{20}} -\frac{49+ 7\sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\frac{78+ 14\sqrt{29}}{20} -\frac{49+ 7\sqrt{29}}{10} ^{\color{blue}{\backslash2}} + 1 =0\)

\(\frac{78+ 14\sqrt{29}-98-14\sqrt{29}}{20} +1= 0\)

\(\frac{-20}{20} + 1 = 0\)

\(-1+1 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Если \(y_2 = \frac{7- \sqrt{29}}{10} \), то

\(5\cdot(\frac{7- \sqrt{29}}{10})^2 -7\cdot\frac{7- \sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\cancel5\cdot\frac{49- 14\sqrt{29}+29}{\cancel{100}_{20}} -\frac{49- 7\sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\frac{78- 14\sqrt{29}}{20} -\frac{49- 7\sqrt{29}}{10} ^{\color{blue}{\backslash2}} + 1 =0\)

\(\frac{78- 14\sqrt{29}-98+14\sqrt{29}}{20} +1= 0\)

\(\frac{-20}{20} + 1 = 0\)

\(-1+1 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Ответ: \(\frac{7+ \sqrt{29}}{10} \); \(\frac{7- \sqrt{29}}{10} \).

---

д) \(2y^2+11y+10=0\)

\(a = 2\),  \(b = 11\),  \(c = 10\)

\( D=b^2 - 4ac=11^2 - 4\cdot2\cdot10 =\)

\(=121-80=41 \),    \(\sqrt D = \sqrt{41}\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4} \)

Проверка:

Если \(y_1 = \frac{-11+ \sqrt{41}}{4}=\frac{\sqrt{41}-11}{4}\), то

\(2\cdot(\frac{\sqrt{41}-11}{4})^2+11\cdot\frac{\sqrt{41}-11}{4}+10=0\)

\(\cancel2\cdot\frac{41 - 22\sqrt{41}+121}{\cancel{16}_8}+\frac{11\sqrt{41}-121}{4}+10=0\)

\(\frac{162 - 22\sqrt{41}}{8}+\frac{11\sqrt{41}-121}{4} ^{\color{blue}{\backslash2}} +10=0\)

\(\frac{162 - 22\sqrt{41}+22\sqrt{41} - 242}{8}+10 = 0\)

\(\frac{-80}{8}+10=0\)

\(-10 + 10 = 0\)

\( 0 = 0\) - верно.

Если \(y_2 = \frac{-11- \sqrt{41}}{4}=-\frac{11+\sqrt{41}}{4}\), то

\(2\cdot(-\frac{11+\sqrt{41}}{4})^2+11\cdot(-\frac{11 + \sqrt{41}}{4})+10=0\)

\(\cancel2\cdot\frac{121 + 22\sqrt{41}+41}{\cancel{16}_8}-\frac{121+11\sqrt{41}}{4}+10=0\)

\(\frac{162 + 22\sqrt{41}}{8}-\frac{121+11\sqrt{41}}{4} ^{\color{blue}{\backslash2}} +10=0\)

\(\frac{162 + 22\sqrt{41}-242-22\sqrt{41}}{8}+10 = 0\)

\(\frac{-80}{8}+10=0\)

\(-10 + 10 = 0\)

\( 0 = 0\) - верно.

Ответ: \(\frac{-11+ \sqrt{41}}{4}\);  \(\frac{-11- \sqrt{41}}{4}\).

---

е) \(4x^2-9x-2=0\)

\(a = 4\),  \(b = -9\),  \(c = -2\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-9)^2-4\cdot 4\cdot (-2)=\)

\(=81+32=113 \),    \(\sqrt D = \sqrt {113}\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8} \)

Проверка:

Если \(x_1 = \frac{9+ \sqrt{113}}{8}\), то

\(4\cdot(\frac{9+ \sqrt{113}}{8})^2 - 9\cdot\frac{9+ \sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\cancel4\cdot\frac{81+ 18\sqrt{113}+113}{\cancel{64}_{16}} - \frac{81+ 9\sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\frac{194+ 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81+ 9\sqrt{113}}{8} ^{\color{blue}{\backslash2}} - 2 = 0\)

\(\frac{194+ 18\sqrt{113}-162-18\sqrt{113}}{16} -2 =0\)

\(\frac{32}{16} -2 = 0\)

\(2-2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Если \(x_2 = \frac{9- \sqrt{113}}{8}\), то

\(4\cdot(\frac{9- \sqrt{113}}{8})^2 - 9\cdot\frac{9- \sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\cancel4\cdot\frac{81- 18\sqrt{113}+113}{\cancel{64}_{16}} - \frac{81- 9\sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\frac{194- 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81- 9\sqrt{113}}{8} ^{\color{blue}{\backslash2}} - 2 = 0\)

\(\frac{194- 18\sqrt{113}-162+18\sqrt{113}}{16} -2 =0\)

\(\frac{32}{16} -2 = 0\)

\(2-2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Ответ: \(\frac{9+ \sqrt{113}}{8}\); \(\frac{9- \sqrt{113}}{8}\).

---

Пояснения:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

Чтобы выполнить проверку, нужно в исходное уравнение подставить вместо переменной, найденные значения корней уравнения, и выполнить вычисления. Если в результате вычислений получится верное числовое равенство, то корни найдены верно.

Свойства арифметического корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\).

а) \(a - 3 > b - 3\) и \(b > 4\)

\( a > b\)

\(b>0\),   \(a > 0\)

Ответ: \(a\) и \(b\) - положительные числа.

б) \(a - 8 > b - 8\) и \(a < -12\)

\( a > b\)

\(a<0\),   \(b < 0\).

Ответ: \(a\) и \(b\) - отрицательные числа.

в) \(7a > 7b\) и \(b > \frac{1}{2}\)

\( a > b\)

\(b>0\),   \(a > 0\)

Ответ: \(a\) и \(b\) - положительные числа.

г) \(-2a > -2b\) и \(b < -\frac{1}{3}\)

\(a < b\)

\(b < 0\),   \(a<0\).

Ответ: \(a\) и \(b\) - отрицательные числа.

---

Пояснения:

Использованные свойства:

1) если к обеим частям верного неравенства прибавить (вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство.

2) если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

3) если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.