Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№748 учебника 2023-2025 (стр. 175):
При каких значениях \(x\) верно равенство:
а) \((5x+3)^2=5(x+3)\);
б) \((3x+10)^2=3(x+10)\);
в) \((3x-8)^2=3x^2-8x\);
г) \((4x+5)^2=5x^2+4x\);
д) \((5x+3)^2=5x+3\);
е) \((5x+3)^2=(3x+5)^2\);
ж) \((4x+5)^2=4(x+5)^2\);
з) \((2x+10)^2=4(x+5)^2\)?
№748 учебника 2013-2022 (стр. 168):
Известно, что \(a < b\). Сравните, если возможно, \(a\) и \(b+1\), \(a-3\) и \(b\), \(a-5\) и \(b+2\), \(a+4\) и \(b-1\).
№748 учебника 2023-2025 (стр. 175):
Вспомните.
№748 учебника 2013-2022 (стр. 168):
Вспомните свойства числовых неравенств.
№748 учебника 2023-2025 (стр. 175):
а) \( (5x+3)^2=5x+3 \)
\( 25x^2+30x+9=5x+15 \)
\( 25x^2+30x+9-5x-15=0 \)
\( 25x^2+25x-6=0 \)
\(a = 25\), \(b = 25\), \(c = -6\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\(=25^2-4\cdot 25\cdot (-6)=\)
\(=625+600=1225\), \( \sqrt{D}=35 \).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\( x_1=\frac{-25+ 35}{2\cdot25}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5} = 0,2\).
\( x_2=\frac{-25- 35}{2\cdot25}=\frac{-60}{50}=\)
\(=-\frac{6}{5} = -1,2 \)
Ответ: \(0,2\); \(-1,2\).
б) \((3x+10)^2=3(x+10)\)
\( 9x^2+60x+100=3x+30 \)
\( 9x^2+60x+100-3x-30 = 0\)
\( 9x^2+57x+70=0 \)
\(a = 9\), \(b = 57\), \(c = 70\)
\( D=b^2 - 4ac=57^2-4\cdot 9\cdot 70=\)
\(=3249-2520=729\), \( \sqrt{D}=27 \).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\( x_1=\frac{-57+ 27}{2\cdot9} =\frac{-30}{18}=\)
\(=-\frac{5}{3}=-1\frac23\).
\(x_2=\frac{-57- 27}{2\cdot9} =\frac{-84}{18}=\)
\(=-\frac{14}{3}=-4\frac23 \).
Ответ: \(-1\frac23\); \(4\frac23 \).
в) \((3x-8)^2=3x^2-8x\)
\(9x^2-48x+64=3x^2-8x \)
\(9x^2-48x+64-3x^2+8x=0 \)
\( 6x^2-40x+64=0 \) \(/ :2\)
\( 3x^2-20x+32=0 \)
\(a = 3\), \(b = -20\), \(c = 32\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-20)^2-4\cdot 3\cdot 32=\)
\(=400-384=16 \), \(\sqrt D = 4\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\( x_1=\frac{20+ 4}{2\cdot3} =\frac{24}{6}=4\).
\(x_2=\frac{20+ 4}{2\cdot3}=\frac{8}{3} = 2\frac23\).
Ответ: \(4\); \(2\frac23\).
г) \((4x+5)^2=5x^2+4x\)
\( 16x^2+40x+25=5x^2+4x \)
\( 16x^2+40x+25-5x^2-4x =0\)
\( 11x^2+36x+25=0 \)
\(a = 11\), \(b = 36\), \(c = 25\)
\( D=b^2 - 4ac=36^2-4\cdot 11\cdot 25=\)
\(=1296-1100=196\), \(\sqrt{D}=14 \).
\( x_1=\frac{-36 + 14}{22}=\frac{-22}{22}=-1\)
\( x_2=\frac{-36 - 14}{22}=\frac{-50}{22}=-\frac{25}{11} =\)
\(=-2\frac{4}{11} \)
Ответ: \(-1\); \(-2\frac{4}{11} \).
д) \((5x+3)^2=5x+3\)
\( (5x+3)^2=25x^2+30x+9 \)
\( 25x^2+30x+9=5x+3 \)
\( 25x^2+30x+9-5x-3=0 \)
\( 25x^2+25x+6=0 \)
\(a = 25\), \(b = 25\), \(c = 6\)
\( D=25^2-4\cdot 25\cdot 6=\)
\(=625-600=25 \), \(\sqrt D = 5\)
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(x_1=\frac{-25+ 5}{2\cdot25}=\frac{-20}{50}=\)
\(=-\frac{2}{5}=0,4\).
\(x_2=\frac{-25 - 5}{2\cdot25}=\frac{-30}{50}=\)
\(=-\frac{3}{5}=0,6 \).
Ответ: \(0,4\), \(0,6\).
е) \((5x+3)^2=(3x+5)^2\)
\(25x^2 +30x + 9 = 9x^2 + 30x + 25\)
\(25x^2 + \cancel{30x} + 9 - 9x^2 - \cancel{30x} - 25 = 0\)
\(16x^2 -16 = 0\)
\(16x^2 = 16\)
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm\sqrt 1\)
\( x_1=1\) и \( x_2=-1 \)
Ответ: \( x_1=1\) и \( x_2=-1 \).
ж) \((4x+5)^2=4(x+5)^2\)
\(16x^2 + 40x + 25 = 4(x^2 + 10x + 25)\)
\(16x^2 + 40x + 25 = 4x^2 + 40x + 100\)
\(16x^2 + \cancel{40x} + 25 - 4x^2 - \cancel{40x} - 100=0\)
\(12x^2 - 75 = 0\)
\(12x^2 = 75\)
\(x^2 = \frac{75}{12}\)
\(x^2 = 6,25\)
\(x = \pm\sqrt{6,25}\)
\(x_1 = -2,5\) и \(x_2 = 2,5\)
Ответ: \(-2,5\); \(2,5\).
з) \((2x+10)^2=4(x+5)^2\)
\(4x^2 + 40x + 100 = 4(x^2 + 10x + 25)\)
\(4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 + 40x + 100\)
\(4x^2 + 40x + 100 - 4x^2 + 40x - 100 = 0\)
\(0 = 0\) - верно.
Ответ: \(x\) - любое число.
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
В пунктах е) и ж) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).
В пункте з) в результате преобразований получилось верное числовое равенство, не зависящее от переменной, это говорит о том, что решением уравнения может быть любое число.
№748 учебника 2013-2022 (стр. 168):
\(a < b\)
1) \(a < b+1. \)
2) \(a-3 < b. \)
3) \(a-5 < b+2. \)
4) \(a+4\) и \(b-1\) - нельзя сравнить.
Пояснения:
При сравнении выражений нужно помнить, что если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.
- В первых трёх пунктах сравнения однозначны, так как добавление и вычитание фиксированных чисел не меняет порядка.
- В последнем случае результат зависит от разницы между \(a\) и \(b\), поэтому сравнение возможно только при подстановке конкретных чисел.
Вернуться к содержанию учебника