Упражнение 669 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^{2}-10x+q=0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = q\)

\(x_1-x_2 = 6\)

По теореме, обратной теореме Виета:

\(\;x_1+x_2=10\)   и   \(x_1x_2=q\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1+x_2=10,\\ x_1-x_2=6 \end{cases} \)    \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1=16,\\ x_1-x_2=6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1=\frac{16}{2},\\ x_2=x_1 - 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1=8,\\ x_2=8 - 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1=8,\\ x_2=2 \end{cases} \)

\(q = 8\cdot2 = 16\)

Ответ: \(q=16\).

Пояснения:

Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

По условию разность корней квадратного уравнения 6, то есть

\(x_1 - x_2 = 6\).

Составляем систему из уравнений суммы и разности корней:

\( \begin{cases} x_1+x_2=10,\\ x_1-x_2=6 \end{cases} \) 

Решаем систему способом сложения и находим значения корней:

\(x_1 = 8,   x_2 = 2\).

Через произведение корней находим коэффициент \(q = 16\).

Пусть меньшее число равно \(n\). Тогда следующее за ним число \(n+1\).

Составим уравнение:

\((n+1)^3 - n^3 = 919\)

\(\cancel{n^3} + 3n^2 + 3n + 1 - \cancel{n^3} - 919=0\)

\(3n^2 + 3n - 918 = 0\)   \( / : 3\)

\(n^2 + n - 306 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 3\),  \(c = 1,08\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) =\)

\(=1 + 1224 = 1225\),    \(\sqrt{D} = 35.\)

\(n_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(n_1 = \frac{-1 + 35}{2\cdot1}=  \frac{34}{2} = 17\)

\(n_2 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: \(17\) и \(18\).

Пояснения:

Мы ввели обозначение \(n\) — меньшее число. Тогда большее число \(n+1\).

По условию составили уравнение:

\((n+1)^3 - n^3 = 919\).

По формуле куба суммы раскрыли скобки, перенесли число из правой части уравнения в левую с противоположным знаком, привели подобные, получили квадратное уравнение относительно \(n\). Решив его через дискриминант, нашли два корня, но только положительный (\(n=17\)) подходит, так как речь идёт о натуральных числах.

Таким образом, искомые числа: \(17\) и \(18\).