Упражнение 626 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{36-x^{2}}{6-7x+x^{2}}=\frac{-(x^{2}-36)}{(x-6)(x-1)}=\)

\(=\frac{-\cancel{(x-6)}(x+6)}{\cancel{(x-6)}(x-1)}=-\frac{x+6}{x-1}\).

\(6-7x+x^{2} = 0\)

\(x^2 - 7x + 6 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = 6\)

\(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\( = 49 - 24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-(-7)+5}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\),

\(x_{2}=\dfrac{-(-7)-5}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\),

\(6-7x+x^{2} = (x-6)(x-1)\).

Если \(x=-9\), то

\(-\dfrac{-9+6}{-9-1}=-\dfrac{-3}{-10}=-\dfrac{3}{10} = -0,3\).

Если \(x=-99\), то

\(-\dfrac{-99+6}{-99-1}=-\dfrac{-93}{-100}=-\dfrac{93}{100} =\)

\(=-0,93\).

Если \(x=-999\), то

\(-\dfrac{-999+6}{-999-1}=-\dfrac{-993}{-1000}=\)

\(=-\dfrac{993}{1000} = -0,993\).

б) \(\frac{4x^{2}+8x-32}{4x^{2}-16}=\)

\(=\frac{4(x-2)(x+4)}{4(x^2-4)}=\)

\(=\frac{\cancel{4}\cancel{(x-2)}(x+4)}{\cancel{4}\cancel{(x-2)}(x+2)}=\frac{x+4}{x+2}\).

\(4x^{2}+8x-32 = 0\)     \(/ : 4\)

\(x^{2}+2x-8 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -8\)

\(D = b^2 - 4ac =2^2 - 4\cdot1\cdot(-8) =\)

\( = 4 + 32 = 36\),   \(\sqrt D = 6\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-2+6}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\),

\(x_{2}=\dfrac{-2-6}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4\).

\(4x^{2}+8x-32 = 4(x - 2)(x + 4)\).

Если \(x=-1\), то

\(\dfrac{-1+4}{-1+2}=\dfrac{3}{1}=3\).

Если \(x=5\), то

\(\dfrac{5+4}{5+2}=\dfrac{9}{7}=1\dfrac{2}{7}\).

Если \(x=10\), то

\(\dfrac{10+4}{10+2}=\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6} =1\dfrac{1}{6} \).

Пояснения:

Чтобы найти значение дроби, сначала дробь сокращаем, а затем вместо переменных подставляем числовые значения и выполняем вычисления.

Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель и знаменатель на множители,если это возможно, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a + b)\).

4) Противоположные выражения:

\(a - b = -(b-a)\).

Пусть в отделе работает \(x\) сотрудников. Тогда каждый должен заплатить: \(\dfrac{7200}{x}\) р., после отказа троих, каждый из оставшихся должен заплатить: \(\dfrac{7200}{x-3}\) р.

Составим уравнение:

\(\frac{7200}{x-3}-\frac{7200}{x}=200\) \(/\times x(x-3)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 3 \neq0\)

                          \(x \neq 3\)

\(7200x -7200(x-3) = 200x(x-3)\)

\(\cancel{7200x} -\cancel{7200x} +21600 = 200x^2 -600x\)

\(200x^2-600x - 21600 = 0\)   \(/ : 200\)

\(x^2 - 3x - 108 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = -108\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^2 - 4\cdot1\cdot (-108) = \)

\( = 9 + 432 = 441\),    \(\sqrt D = 21\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-3)+21}{2\cdot1}=\frac{24}{2}=12\).

\( x_2 = \frac{-(-3)-21}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: в отделе работает 12 сотрудников.

Пояснения:

Чтобы узнать, сколько должен заплатить за холодильник каждый, нужно разделить общую стоимость холодильника на количество сотрудников отдела. Стоимость холодильника 7200 р. Если в отделе работает \(x\) сотрудников, то каждый должен заплатить: \(\dfrac{7200}{x}\) р., после отказа троих, каждому из оставшихся придется заплатить \(\dfrac{7200}{x-3}\) р. После отказа троих остальным пришлось уплатить на 200 р. больше, чем предполагалось. Получается, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{7200}{x-3}-\frac{7200}{x}=200\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 - 3x - 108 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 12\) и \(x_2 = -9\).

Отрицательный корень не подходит, так как количество человек не может быть отрицательным числом.

Значит, в отделе работает 12 сотрудников.