Упражнение 558 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть ширина прямоугольника \(x\) (см), тогда длина \(x+4\) (см). Площадь равна \(60\text{ см}^2\).

Составим уравнение:

\(x(x+4)=60\)

\(x^2+4x-60=0\)

\(a=1\), \(b=4\), \(c=-60\).

\(D = b^2 - 4ac =4^2-4\cdot1\cdot(-60)=\)

\(=16+240=256\);    \(\sqrt D=16\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-4+16}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{12}{2} = 6\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-4-16}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-20}{2} = -10\) - не удовлетворяет условию (\(x > 0\)).

1) \(6\) (см) - ширина прямоугольника.

2) \(6+4=10\) (см) - длина прямоугольника.

3) \(P=2(a+b)=2(6+10)=\)

\(=2\cdot16=32\) (см).

Ответ: периметр прямоугольника равен 32 см.

Пояснения:

Использованы формулы:

площадь прямоугольника: \(S=ab\),

периметр прямоугольника:

\(P=2(a+b)\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Ввели обозначения и составили уравнение согласно условию:

\(x(x+4)=60\).

Раскрыв скобки получили полное квадратное уравнение:

\(x^2+4x-60=0\).

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант. Отрицательный корень отброшен как не имеющий геометрического смысла (длина не может быть отрицательной). После нахождения сторон вычислили периметр.

а)  \(y=7x-1\) и \(y=2x\)

\(7x-1=2x\)

\(7x - 2x = 1\)

\(5x=1\)

\(x=\frac15\)

\(x=0,2\)

\(y=2\cdot0,2 = 0,4\)

Ответ: \((0,2; 0,4)\).

б) \(y=3x-11\) и \(y=4\)

\(3x-11=4\)

\(3x=4 + 11\)

\(3x=15\)

\(x=\frac{15}{3}\)

\(x=5\)

\(y=4.\)

Ответ: \((5; 4)\).

в) \(y=5x+8\) и \(y=3x+2\)

\(5x+8=3x+2\)

\(5x - 3x = 2 - 8\)

\(2x=-6\)

\(x=\frac{-6}{2}\)

\(x=-3\)

\(y=3\cdot(-3)+2=-7\)

Ответ: \((-3,-7).\)

г) \(y=4-x\) и \(y=3x\)

\(4-x=3x\)

\(-x-3x = -4\)

\(4x = 4\)

\(x=\frac44\)

\(x=1\)

\(y=3\cdot1=3\)

Ответ: \((1,3).\)

Пояснения:

Чтобы найти координаты пересечения графиков данных функций без построения графиков, приравниваем их правые части, решаем полученное линейное уравнение для \(x\), затем подставляем найденное значение в любую из функций и получаем \(y\).