Упражнение 560 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см. Периметр прямоугольника 62 м. Тогда вторая сторона равна

\(62 : 2 - x = 31 - x\) (м).

Составим уравнение:

\(x(31-x)=210 \)

\(x^2-31x+210=0\)

\(a=1\), \(b=10\), \(c=-1200\)

\(D = b^2 - 4ac = 31^2-4\cdot210=\)

\(=961-840=121\)    \(\sqrt D=11\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31+11}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{42}{2} = 21\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31-11}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{20}{2} =10\).

1) \(21\) (м) - первая сторона.

\(31 - 21 = 10\) (м) - вторая сторона.

2) 10 м - первая сторона.

\(31 - 10 = 21\) (м) - вторая сторона.

Ответ: \(10\) м и \(21\) м.

Пояснения:

Использованы формулы:

площадь прямоугольника: \(S=ab\),

периметр прямоугольника:

\(P=2(a+b)\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Чтобы найти сторону прямоугольника, нужно периметр разделить на 2 и вычесть вторую сторону.

Ввели обозначения и составили уравнение согласно условию:

\(x(31-x)=210 \)

Раскрыв скобки получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-31x+210=0\)

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант, которые соответствуют первой стороне прямоугольника.

Нашли вторую сторону прямоугольника.

Пусть ширина прямоугольника \(x\) (см), тогда длина \(x+4\) (см). Площадь равна \(60\text{ см}^2\).

Составим уравнение:

\(x(x+4)=60\)

\(x^2+4x-60=0\)

\(a=1\), \(b=4\), \(c=-60\).

\(D = b^2 - 4ac =4^2-4\cdot1\cdot(-60)=\)

\(=16+240=256\);    \(\sqrt D=16\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-4+16}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{12}{2} = 6\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-4-16}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-20}{2} = -10\) - не удовлетворяет условию (\(x > 0\)).

1) \(6\) (см) - ширина прямоугольника.

2) \(6+4=10\) (см) - длина прямоугольника.

3) \(P=2(a+b)=2(6+10)=\)

\(=2\cdot16=32\) (см).

Ответ: периметр прямоугольника равен 32 см.

Пояснения:

Использованы формулы:

площадь прямоугольника: \(S=ab\),

периметр прямоугольника:

\(P=2(a+b)\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Ввели обозначения и составили уравнение согласно условию:

\(x(x+4)=60\).

Раскрыв скобки получили полное квадратное уравнение:

\(x^2+4x-60=0\).

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант. Отрицательный корень отброшен как не имеющий геометрического смысла (длина не может быть отрицательной). После нахождения сторон вычислили периметр.