Упражнение 1339 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 288

Пусть первый каменщик может выложить всю стену за \(x\) часов, тогда второй — за \(x + 6\) часов.

За 1 час первый выкладывает \(\dfrac{1}{x}\) стены, второй — \(\dfrac{1}{x + 6}\).

Известно, что за 2 часа они вместе делают половину стены.

Составим уравнение:

\(2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}\right) = \frac{1}{2}\)

\(\frac{2}{x} + \frac{2}{x + 6} = \frac{1}{2}\)   \(/\times 2x((x + 6)\)

ОДЗ: \(x \ne0\)   и   \(x + 6 \ne0\)

                            \(x \ne-6\)

\( 4(x + 6) + 4x = x(x + 6)\)

\(4x + 24 + 4x = x^2 +6x\)

\( 8x + 24 = x^2 + 6x\)

\(x^2 + 6x - 8x - 24 = 0\)

\( x^2 - 2x - 24 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -24\)

\( D =b^2 -4ac=\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot (-24)=\)

\(= 4 + 96 = 100. \)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 10\).

\(x_1 = \frac{2 + 10}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6 \).

\(x_1 = \frac{2 - 10}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4 \) - не удовлетворяет условию.

1) \(6\) (ч) - за это время первый каменщик может выложить стену.

2) \(6 + 6 = 12\) (ч) - за это время второй каменщик может выложить стену.

Ответ: первый — за \(6\) ч, второй — за \(12\) ч.

Пояснения:

При совместной работе их производительности складываются: за 1 час они делают \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}\) части стены.

За 2 часа они сделали половину стены, то есть уравнение связывает их производительность и время.

После подстановки и упрощения получаем квадратное уравнение. Только положительный корень имеет смысл, так как время не может быть отрицательным.