Упражнение 1016 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt7+2\sqrt5<2+\sqrt{35}\)

\((\sqrt7+2\sqrt5)^2 < (2+\sqrt{35})^2\)

\((\sqrt7)^2 + 2\cdot\sqrt{7} \cdot 2\sqrt5 + (2\sqrt5)^2 < 2^2 + 2\cdot2\cdot\sqrt{35} + (\sqrt{35})^2 \)

\(7 + 4\sqrt35+20 < 4 +  4\sqrt{35} + 35\)

\(27 + 4\sqrt{35} < 39 + 4\sqrt{35}\) - верно, так как \(27 < 39\)

б) \(4\sqrt6+2>2\sqrt3+4\sqrt2\)

\((4\sqrt6+2)^2>(2\sqrt3+4\sqrt2)^2\)

\((4\sqrt6)^2 + 2\cdot4\sqrt6 \cdot 2 + 2^2>(2\sqrt3)^2 + 2\cdot 2\sqrt3 \cdot 4\sqrt2+(4\sqrt2)^2\)

\(96 + 16\sqrt6 + 4 > 12 + 16\sqrt6 + 32\)

\(100 + 16\sqrt16 > 44 + 16\sqrt6\) - верно, так как \(100 > 44\)

Пояснения:

Используем то, что если левая и правая части верного неравенства положительные числа, то при возведении их в квадрат получится верное неравенство.

Использованные приемы:

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- свойства квадратного арифметического корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\);

- свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

а) \(1 024 000 = 1{,}024 \cdot 10^{6}\);

б) \(6 000 000 = 6 \cdot 10^{6}\);

в) \(21,56 = 2{,}156 \cdot 10^{1}\);

г) \(0,85 = 8{,}5 \cdot 10^{-1}\);

д) \(0,000004 = 4 \cdot 10^{-6}\);

е) \(0,000282 = 2{,}82 \cdot 10^{-4}\);

ж) \(508 \cdot 10^{-7} = 5{,}08 \cdot 10^2 \cdot 10^{-7} =\)

\(=5{,}08 \cdot 10^{-5}\);

з) \(0{,}042 \cdot 10^{2} = 4{,}2 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{2}=\)

\(=4{,}2 \cdot 10^{0}.\)

Пояснения:

Число в стандартном виде записывается как \(a \cdot 10^{n}\), где

\(1 \le a < 10\) и \(n\) — целое число.

Показатель степени \(n\) называется порядком числа.

Если исходное число больше \(10\), то запятую передвигаем влево, пока не останется одна цифра слева, а количество перемещений записываем как положительный показатель степени с основанием \(10\).

Если число меньше \(1\), то запятую передвигаем вправо до первой значащей цифры, а количество перемещений записываем как отрицательный показатель степени с основанием \(10\).

Свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:

\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\).