Упражнение 1017 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a^{2}+b^{2}+2 \ge 2(a+b)\)

\( a^{2}+b^{2}+2-2(a+b) =\)

\(=a^2 + b^2 + 2 -2a - 2b =\)

\(=(a^{2}-2a+1)+(b^{2}-2b+1) =\)

\(=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\ge 0 \)

Неравенство доказано.

б) \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+5 > 2(a+b+c)\)

\( a^{2}+b^{2}+c^{2}+5-2(a+b+c) =\)

\( = a^{2}+b^{2}+c^{2}+5-2a-2b-2c =\)

\(=(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) +2=\)

\(=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}+2 >0 \)

Неравенство доказано.

Пояснения:

При доказательстве находим разность левой и правой частей неравенства и учитываем то, что:

- если \(a - b < 0\), то \(a < b\),

- если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Использованные приемы:

- распределительное свойство:

\(k(a + b) = ka + kb\),

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Масса Земли:

\(6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000 =\)

\(=6 \cdot 10^{21}\) т.

Масса атома водорода:

\(0{,}0000000000000000000017 = \)

\(=1{,}7 \cdot 10^{-21}\) г.

Пояснения:

Число в стандартном виде записывается как \(a \cdot 10^{n}\), где

\(1 \le a < 10\) и \(n\) — целое число.

Показатель степени \(n\) называется порядком числа.

Если исходное число больше \(10\), то запятую передвигаем влево, пока не останется одна цифра слева, а количество перемещений записываем как положительный показатель степени с основанием \(10\).

Если число меньше \(1\), то запятую передвигаем вправо до первой значащей цифры, а количество перемещений записываем как отрицательный показатель степени с основанием \(10\).