Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№796 учебника 2023-2025 (стр. 179):
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}\);
б) \(\dfrac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6}\).
№796 учебника 2013-2022 (стр. 177):
Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил следующие результаты:
1. \(3\sqrt{2} - \sqrt{7} > 0\);
2. \(6\sqrt{3} - 3\sqrt{6} > 0\);
3. \(4\sqrt{7} - 9\sqrt{2} < 0\);
4. \(7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} < 0\).
При этом он допустил ошибку. Найдите её и исправьте.
№796 учебника 2023-2025 (стр. 179):
Вспомните:
№796 учебника 2013-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№796 учебника 2023-2025 (стр. 179):
а) \( \frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8}=\frac{2(m^2 - 4)}{ (m+2)(m+4)}=\)
\(=\frac{2(m - 2)\cancel{(m + 2)}}{ \cancel{(m+2)}(m+4)}=\frac{2(m - 2)}{m+4}=\)
\(=\frac{2m - 4}{m+4}\)
\(m^2 + 6m + 8=0\)
\(a= 1\), \(b= 6\), \(c = 8\)
\(D = b^2 -4ac = 6^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)
\(=36 -32 = 4\), \(\sqrt D = 2\).
\(m_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(m_1=\frac{-6 + 2}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).
\(m_2=\frac{-6 - 2}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).
\(m^2 + 6m + 8 = (m+2)(m+4)\)
Ответ: \(\frac{2m - 4}{m+4}\).
б) \( \frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6}=\)
\(= \frac{(m-2)(2m - 1)}{n(m - 2) - 3(m - 2)}=\)
\(=\frac{\cancel{(m-2)}(2m - 1)}{\cancel{(m - 2)} (n - 3)}=\frac{2m - 1}{n - 3}\)
\(2m^2 - 5m + 2=0\)
\(a= 2\), \(b= -5\), \(c = 2\)
\(D = b^2 -4ac =(-5)^2 -4\cdot2\cdot2 =\)
\(=25 - 16 = 9\), \(\sqrt D = 3\).
\(m_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(m_1 = \frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac84 = 2\).
\(m_2 = \frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac24 = \frac12\).
\(2m^2 - 5m + 2=2(m-2)(m-\frac12)=\)
\(=(m-2)(2m - 1)\).
Ответ: \(\frac{2m - 1}{n - 3}\).
Пояснения:
Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Использованные приемы:
- Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).
- Разложение квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) на множители по его корням \(x_1\) и \(x_2\):
\(ax^2 + bx + c=a(x - x_1)(x - _2)\).
При необходимости коэффициент \(a\) можно внести в какую-нибудь из скобок (распределительное свойство).
- Вынесение общего множителя за скобки:
\(ka + kb =k(a + b)\).
- Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). При \(D>0\) уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
В пункте а) использовали формулу разности квадратов в числителе и разложение квадратного трёхчлена на множители по его корням в знаменателе.
В пункте б) использовали разложение квадратного трёхчлена на множители по его корням в числителе и способ группировки при разложении многочлена на множители в знаменателе.
№796 учебника 2013-2022 (стр. 177):
1. \(3\sqrt{2} - \sqrt{7} > 0\)
\(\sqrt{2\cdot9} - \sqrt{7} > 0\)
\(\sqrt{18} - \sqrt{7} > 0\) — верно.
2. \(6\sqrt{3} - 3\sqrt{6} > 0\)
\(\sqrt{3\cdot36} - \sqrt{6\cdot9} > 0\)
\(\sqrt{108} - \sqrt{54} > 0\) — верно.
3. \(4\sqrt{7} - 9\sqrt{2} < 0\)
\(\sqrt{7\cdot16} - \sqrt{2\cdot81} < 0\)
\(\sqrt{112} - \sqrt{168} < 0\) — верно.
4. \(7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} < 0\)
\(\sqrt{11\cdot49} - \sqrt{12\cdot36} < 0\)
\(\sqrt{539} - \sqrt{432} < 0\) — неверно, так как
\(\sqrt{539} - \sqrt{432} > 0\), тогда
\(7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} > 0\).
Пояснения:
Чтобы сравнить выражения вида \(a\sqrt{m}\) и \(b\sqrt{n}\) с нулём, можно внести множитель, стоящий перед корнем, под знак корня: \(\sqrt{m\cdot a^2}\) и \(\sqrt{n\cdot b^2}\).
Чем больше подкоренное выражение, чем больше корень.
Чтобы определить верно или неверно неравенство, помним:
1) если \(a > b\), то \(a - b > 0\);
2) если \(a < b\), то \(a - b < 0\).
Вернуться к содержанию учебника