Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№737 учебника 2023-2025 (стр. 174):
Решите относительно \(x\) уравнение:
а) \(x^2-5ax+4a^2=0\);
б) \(3x^2-10ax+3a^2=0\).
№737 учебника 2013-2022 (стр. 164):
Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении \(a\):
1. \(a^2 > 2a - 3\);
2. \(a^2 + 6 > 4a\);
3. \(4a - 4 < a^2\);
4. \(8a - 70 < a^2\).
№737 учебника 2023-2025 (стр. 174):
Вспомните:
№737 учебника 2013-2022 (стр. 164):
Вспомните:
№737 учебника 2023-2025 (стр. 174):
а) \( x^2-5ax+4a^2=0 \)
\(D=(-5a)^2-4\cdot 1\cdot 4a^2=\)
\(=25a^2-16a^2=9a^2 \).
\(\sqrt D = |3a|\).
1 случай:
Если \(D > 0\), то \(9a^2 > 0\) и \(a \neq 0\)
\( x_{1}=\frac{5a+ |3a|}{2} = \frac{8a}{2}=4a\)
\( x_{2}=\frac{5a- |3a|}{2} = \frac{2a}{2}=a\)
2 случай:
Если \(D=0\), то \(9a^2 = 0\) и \(a = 0\), тогда \(x = 0\).
Ответ: если \(a = 0\), то \(x = 0\);
если \(a\neq0\), то \(x = a\) или \(x = 4a\).
б) \( 3x^2-10ax+3a^2=0 \)
\( D=(-10a)^2-4\cdot 3 \cdot 3a^2=\)
\(=100a^2-36a^2=64a^2 \).
\(\sqrt D = |8a|\).
1 случай:
Если \(D > 0\), то \(64a^2 > 0\) и \(a \neq 0\)
\( x_1=\frac{10a+ |8a|}{2\cdot 3} =\frac{18a}{6} = 3a\)
\( x_2=\frac{10a-|8a|}{6}=\frac{2a}{6}=\frac13a\).
2 случай:
Если \(D=0\), то \(64a^2 = 0\) и \(a = 0\), тогда \(x = 0\).
Ответ: \(x=3a\) или \(x=\frac{1}{3}a\).
Пояснения:
Количество корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Анализируя знак дискриминанта, получаем два случая: два корня и один корень.
При извлечении корня из дискриминанта использовали свойства корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\);
\( \sqrt{a^2} = |a|\).
№737 учебника 2013-2022 (стр. 164):
1. \(a^2 > 2a - 3\)
\( a^2 - (2a - 3) = a^2 - 2a + 3= \)
\(=(a^2 -2a + 1)+2 = \)
\(=(a-1)^2 + 2 > 0\) - верно при любом \(a\).
2. \(a^2 + 6 > 4a\)
\( a^2 + 6 - 4a = a^2 - 4a + 6=\)
\(=(a^2 -4a + 4) + 2=\)
\( =(a-2)^2 + 2 > 0\) - верно при любом \(a\).
3. \(4a - 4 < a^2\)
\( 4a - 4 - a^2 = -(a^2 - 4a + 4)=\)
\(=-(a-2)^2 < 0\) - верно для всех \(a\), кроме \(a=2\), так как \((2-2)^2=0\).
4. \(8a - 70 < a^2\)
\(8a - 70 - a^2=\)
\(=-a^2 + 8a -16 - 54 =\)
\(=-(a^2 -8a +16) - 54 =\)
\(=-(a-4)^2 - 54 < 0\) - верно при любом \(a\).
Ответ: неравенство 3. \(4a - 4 < a^2\) не является верным при любом значении \(a\).
Пояснения:
При выполнении задания опирались на то, что:
если \(a - b > 0\), то \(a > b\);
если \(a - b < 0\), то \(a < b\).
При выполнении преобразований выделяли квадрат двучлена:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Вернуться к содержанию учебника