Упражнение 738 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x^2+tx+3=0\)

\( D=t^2-4\cdot 3\cdot 3=t^2-36 \)

\(t^2 - 36 = 0\)

\(t^2 = 36 \)

\(t=\pm 6 \)

Ответ: \(t=\pm 6\).

б) \(2x^2-tx+50=0\)

\( D=(-t)^2-4\cdot 2\cdot 50=t^2-400 \)

\(t^2-400 = 0 \)

\( t^2=400 \)

\(t=\pm 20 \)

Ответ: \(t=\pm 20\).

в) \(tx^2-6x+1=0\)

1 случай:

Если \(t=0\), то

\( -6x+1=0 \)

\( -6x=-1\)

\(x=\frac{1}{6} \)

2 случай:

Если \(t\neq 0\), то

\(tx^2-6x+1=0\)

\( D=(-6)^2-4t\cdot 1=36-4t \)

\( 36-4t=0 \)

\(-4t = -36\)

\(t = \frac{-36}{-4}\)

\(t=9 \)

Ответ: \(t=0\) или \(t=9\).

г) \(tx^2+x-2=0\)

1 случай:

Если \(t=0\), то

\( x-2=0 \)

\(x=2 \)

Если \(t\neq 0\), то

\(tx^2+x-2=0\)

\( D=1-4t\cdot(-2)=1+8t \)

\( 1+8t=0 \)

\(8t = -1\)

\(t=-\frac{1}{8} \)

Ответ: \(t=0\) или \(t=-\frac{1}{8}\).

Пояснения:

Мы использовали то, что квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет единственный корень в том случае, когда \(D = b^2 - 4ac = 0\).

Также в пунктах в) и г), кроме того, что мы рассмотрели случай с \(D = 0\), еще мы учли то, что если в квадратном уравнении коэффициент перед \(x^2\) равен нулю, то уравнение преобразуется в линейное, а линейное уравнение (ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

Если \(a >0\), \(b > 0\) и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\).

\(a^2 - b^2 > 0\)

\((a-b)(a+b) > 0\)

\(a+b > 0\), так как \(a >0\), \(b > 0\), значит, \(a-b>0\), поэтому \(a>b\).

а) \(\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}\)

1) \( (\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 =\)

\(=(\sqrt6)^2 +2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=\)

\(=6 + 2\sqrt{18} + 3=\)

\(=9 + 2\sqrt{18}, \)

2) \((\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = \)

\(=(\sqrt7)^2 +2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=\)

\(=7 +  2\sqrt{14} + 2 =\)

\(=9 + 2\sqrt{14} .\)

3) \(\sqrt{18} > \sqrt{14}\)

\(9 + 2\sqrt{18} > 9 + 2\sqrt{14}\)

б) \(\sqrt{3} + 2 > \sqrt{6} + 1\)

1) \( (\sqrt{3} + 2)^2 =\)

\(=(\sqrt3)^2 + 2\cdot\sqrt3\cdot2 + 2^2=\)

\(=3 +4\sqrt3 + 4=\)

\(=7 + 4\sqrt{3} =7 + \sqrt{16\cdot3}= \)

\(=7 + \sqrt{48}, \)

2) \( (\sqrt{6} + 1)^2 =\)

\(=(\sqrt6)^2 +2\sqrt6\cdot1 + 1^2 =\)

\(=6 + 2\sqrt6 + 1=\)

\(= 7 + 2\sqrt{6}=7 + \sqrt{4\cdot6}=\)

\(=7 + \sqrt24\).

3) \(\sqrt{48} > \sqrt{24}\)

\(7 + \sqrt{48} > 7 + \sqrt24\)

в) \(\sqrt{5} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{3}\)

1) \((\sqrt{5} - 2)^2 =\)

\(=(\sqrt5)^2 -2\cdot\sqrt5\cdot2 + 2^2 =\)

\(=5 -4\sqrt5 + 4 =9 - 4\sqrt5 =\)

\(=9 - \sqrt{16\cdot5} = 9 - \sqrt{80},\)

2) \((\sqrt{6} - \sqrt{3})^2=\)

\(=(\sqrt6)^2 -2\cdot\sqrt6\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2=\)

\(=6-2\sqrt{18} + 3 =9-2\sqrt{18}=\)

\(=9-\sqrt{4\cdot18} = 9 - \sqrt{72}\)

3) \(\sqrt{80} > \sqrt{72}\)

\(9 - \sqrt{80} < 9 - \sqrt{72}\)

г) \(\sqrt{10} - \sqrt{7} < \sqrt{11} - \sqrt{6}\)

1) \((\sqrt{10} - \sqrt{7})^2=\)

\(=(\sqrt{10})^2 - 2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{7} + (\sqrt7)^2 =\)

\( = 10 - 2\sqrt70 + 7=\)

\(=17 - 2\sqrt{70},\)

2) \((\sqrt{11} - \sqrt{6})^2 =\)

\(=(\sqrt{11})^2 - 2\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{6} + (\sqrt6)^2 =\)

\( = 11 - 2\sqrt{66} + 6=\)

\(=17 - 2\sqrt{66},\)

3) \(\sqrt{70} > \sqrt{66}\)

\(17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}\)

Пояснения:

Если \(a >0\), \(b > 0\) и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\). Чтобы доказать это утверждение используем, то что

\(a^2 - b^2 > 0\), откуда согласно формуле разности квадратов можем записать:

\((a-b)(a+b) > 0\).

Сумма двух положительных чисел всегда положительна, то есть

\(a+b > 0\). Если один из множителей положителен, чтобы произведение было положительно, второй множитель тоже должен быть положителен. Значит, \(a-b>0\), поэтому \(a>b\). Что и требовалось доказать.

Чтобы выполнить сравнение данных чисел, используем свойство, которое доказали выше. При этом используем следующие приемы:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\);

\(a\sqrt b = \sqrt{a^2b}\).