Упражнение 778 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 160

Пусть \(x\) км/ч - скорость течения реки.

Составим уравнение:

\( 6(15 + x) = 10(15 - x) - 20 \)

\( 90 + 6x = 150 - 10x - 20 \)

\[ 90 + 6x = 130 - 10x \]

\[ 6x + 10x = 130 - 90 \]

\[ 16x = 40 \]

\[ x = \frac{40}{16} \]

\[ x = 2{,}5 \]

Ответ: скорость течения равна \(2{,}5\) км/ч.

Пояснения:

Используем формулу пути при равномерном движении:

\[ S = v \times t, \]

где \(S\) — путь, \(v\) — скорость, \(t\) — время.

Скорость катера относительно берега при течении:

\[ v_{\text{по теч.}} = 15 + x, \]

\[ v_{\text{против теч.}} = 15 - x. \]

По условию путь по течению на 20 км меньше пути против течения, что и учтено в уравнении:

\( 6(15 + x) = 10(15 - x) - 20. \)

Далее раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b + c) = ab + ac\).

Перенесли подобные, сменив их знаки, и привели подобные:

\(ka + la = (k + l)a\).

Решение линейного уравнения вида \(ax = b\) через деление: \(x = \frac{b}{a}\).

Полученное значение \(2{,}5\) км/ч и является искомой скоростью течения реки.

а) \( (a^2-7)(a+2) - (2a-1)(a-14) =\)

\(=a^3 + 2a^2 -7a -14 - (2a^2 -29a +14) =\)

\(=a^3 + \cancel{2a^2} -7a - \cancel{14} - \cancel{2a^2} + 29a - \cancel{14} =\)

\(=a^3 +22a -28. \)

б) \( (2-b)(1+2b) + (1+b)(b^3-3b) =\)

\(=2 +4b -b -2b^2 + (b^3 -3b + b^4 -3b^2) =\)

\(=2 + \cancel{3b} - 2b^2 + b^3 - \cancel{3b} + b^4 -3b^2 =\)

\(=b^4 + b^3 - 5b^2 +2. \)

в) \( 2x^2 - (x-2y)(2x+y) =\)

\(=2x^2 - (2x^2 + xy - 4xy - 2y^2) =\)

\(=\cancel{2x^2} - \cancel{2x^2} - xy + 4xy + 2y^2 =\)

\(= 2y^2 + 3xy. \)

г) \( (m-3n)(m+2n) - m(m-n) =\)

\(=m^2 +2mn -3mn -6n^2 - (m^2 - mn) =\)

\(=\cancel{m^2} - \cancel{mn} - 6n^2 - \cancel{m^2} + \cancel{mn} =\)

\(=-6n^2. \)

д) \( (a-2b)(b+4a) - 7b(a+b) =\)

\(=ab +4a^2 -2b^2 -8ab - (7ab +7b^2) =\)

\(=ab +4a^2 -2b^2 -8ab -7ab -7b^2 =\)

\(=4a^2 - 9b^2 -14ab. \)

е) \( (p-q)(p+3q) - (p^2+3q^2) =\)

\(=p^2 +3pq -pq -3q^2 - p^2 -3q^2 =\)

\(=\cancel{p^2} +2pq -3q^2 - \cancel{p^2} -3q^2 =\)

\(=2pq -6q^2. \)

Пояснения:

1. Раскрытие скобок: при умножении многочлена на многочлен каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

2. Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

3. Смена знаков при вычитании: при вычитании многочленов, у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

4. Приведение подобных членов: после раскрытия скобок складываем или вычитаем члены с одинаковыми переменными и степенями, противоположные члены вычеркиваем, так как их сумма равна нулю..

В каждом пункте сначала выполняется умножение в скобках, затем при необходимости вычитание или сложение результирующих многочленов, после чего приводятся подобные члены для получения окончательного упрощённого выражения.