Упражнение 777 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 160

Пусть \(x\) км/ч - скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость по течению: \(x + 1,5\) км/ч, против течения: \(x - 1,5\) км/ч. Известно, что За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза больше, чем за 2 ч против течения.

Составим уравнение:

\( 2{,}4 \cdot 2(x - 1,5) = 4(x + 1,5) \)

\( 2{,}4 \cdot (2x - 3) = 4x + 6 \)

\( 4{,}8x - 7{,}2 = 4x + 6 \)

\( 4{,}8x - 4x = 6 + 7{,}2 \)

\( 0{,}8x = 13{,}2 \)

\( x = \frac{13{,}2}{0{,}8}\)

\( x = \frac{132}{8}\)

\[ x =16{,}5 \]

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна \(16{,}5\) км/ч.

Пояснения:

В задаче используется формула для пути при постоянной скорости и времени:

\[ S = v \times t, \]

где \(S\) — пройденный путь, \(v\) — скорость, \(t\) — время.

Поскольку течение влияет на скорость катера, вводятся две скорости:

— по течению:

\(v_{\text{по теч.}} = x + v_{\text{течения}};\)

— против течения:

\(v_{\text{пр. теч.}} = x - v_{\text{течения}}.\)

В условии сказано, что за 4 ч по течению катер проходит путь, в 2,4 раза больший, чем за 2 ч против течения. Это соотношение и записали в виде уравнения.

Далее каждое действие:

1) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b + c) = ab + ac\).

2) Перенос подобных членов так, чтобы неизвестная \(x\) осталась в одной части, а числа — в другой, приведение подобных:

\(ka + la = (k + l)a\).

3) Решение линейного уравнения вида \(ax = b\) через деление: \(x = \frac{b}{a}\).

Полученное значение \(16{,}5\) км/ч и является искомой скоростью катера в стоячей воде.

а) \( (x + y)(x^2 - xy + y^2) =\)

\(=x^3 - \cancel{x^2y} + \cancel{xy^2} + \cancel{x^2y} - \cancel{xy^2} + y^3 =\)

\(=x^3 + y^3. \)

б) \( (x - y)(x^2 + xy + y^2) =\)

\(=x^3 + \cancel{x^2y} + \cancel{xy^2} - \cancel{x^2y} - \cancel{xy^2} - y^3 =\)

\(=x^3 - y^3. \)

в) \( (a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) =\)

\(=a^4 - \cancel{a^3b} + \cancel{a^2b^2} - \cancel{ab^3} + \cancel{a^3b} - \cancel{a^2b^2} + \cancel{ab^3} - b^4 =\)

\(=a^4 - b^4. \)

г) \( (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) =\)

\(=a^4 + \cancel{a^3b} + \cancel{a^2b^2} + \cancel{ab^3} - \cancel{a^3b} - \cancel{a^2b^2} - \cancel{ab^3} - b^4 =\)

\(=a^4 - b^4. \)

Пояснения:

1. Раскрытие скобок и приведение подобных членов: при умножении многочленов каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, а затем вычеркиваем противоположные члены, так как их сумма равна нулю.

2. Получение двучлена: после всех сокращений остаётся лишь два члена \(x^3\) и \(\pm y^3\) в пунктах а), б), и \(a^4\) и \(-b^4\) в пунктах в), г), то есть двучлен вида \(u^n \pm v^n\).