Упражнение 745 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Рассмотрим три случая:

1) Если хотя бы одно из чисел \(a\) или \(b\) делится на 3, то произведение

\(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.

2) Если ни \(a\), ни \(b\) не делятся на 3 и остатки одинаковые.

\(a=3k+1\), \(b=3p+1\),

где \(k\) или \(p\) - целые числа.

\(a-b=(3k+1)-(3p+1)=\)

\(=3k+1-3p-1=3k-3p=\)

3(k-p) - делится на3, значит, произведение \(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.

\(a=3k+2\), \(b=3p+2\),

где \(k\) или \(p\) - целые числа.

\(a-b=(3k+2)-(3p+2)=\)

\(=3k+2-3p-2=3k-3p=\)

\(=3(k-p)\) - делится на 3, значит, произведение \(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.

3) Если ни \(a\), ни \(b\) не делятся на 3 и остатки разные.

\(a=3k+1\), \(b=3p+2\),

где \(k\) или \(p\) - целые числа.

\(a+b=(3k+2)+(3p+2)=\)

\(=3k+1+3p+2=3k+3p+3=\)

\(=3(k+p+1)\) - делится на 3, значит, произведение \(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.

Пояснения:

Делимость на 3. Чтобы показать, что произведение делится на 3, достаточно найти в нём хотя бы один множитель, делящийся на 3.

При делении на 3 возможны три остатка: 0, 1 или 2, так как остаток всегда должен быть меньше делителя.

а) \( (4 - 2x) + (5x - 3) = (x - 2) - (x + 3)\)

\( 4 - 2x + 5x - 3 = \cancel{x} - 2 - \cancel{x} - 3\)

\( -2x + 5x = - 2 - 3 + 3 - 4\)

\( 3x = - 6\)

\(x=-\tfrac{6}{3}\)

\( x = -2. \)

Ответ: \( x = -2. \)

б) \(5 - 3y - (4 - 2y) = y - 8 - (y - 1)\)

\(5 - 3y - 4 + 2y = \cancel{у} - 8 - \cancel{у} + 1\)

\(-3y+2y= -8 + 1 - 5 + 4\)

\(-y = -8\)

\(y = 8\).

Ответ: \(y = 8\).

в) \(7 - 1\tfrac{1}{2}a + \bigl(\tfrac{1}{2}a - 5\tfrac{1}{2}\bigr) = 2a + \tfrac{3}{4} - \bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}a\bigr)\)

\(\;7 - \tfrac{3}{2}a + \tfrac{1}{2}a - \tfrac{11}{2} = 2a + \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}a\)

\( - \tfrac{3}{2}a + \tfrac{1}{2}a -2a +\tfrac{1}{2}a = \tfrac{3}{4} + \tfrac{11}{2}- \tfrac{1}{2} - 7\)

\(-2\tfrac{1}{2}a =\tfrac{3}{4} + \tfrac{10}{2} - 7\)

\(-2,5a = 0,75 + 5 - 7\)

\(-2,5a = -1,25\)

\(a = \tfrac{1,25}{2,5} \)

\(a = \tfrac{12,5}{25} \)

\(a=0,5\)

Ответ: \(a=0,5.\)

г) \(-3{,}6 - (1{,}5x + 1) = -4x - 0{,}8 - (0{,}4x - 2)\) ⇒

\(-3{,}6 - 1{,}5x - 1 = -4x - 0{,}8 - 0{,}4x + 2\)

\( -1{,}5x + 4x + 0{,}4x = - 0{,}8 + 2 + 3{,}6 + 1\)

\( 2{,}9x = 5{,}8\)

\(x = \tfrac{5,8}{2,9}\)

\(x = \tfrac{58}{29}\)

\(x = 2\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак "минус", то при их раскрытии знаки всех членов нужно поменять на противоположные.

2. Приведение подобных членов:

\(ka + la = (k + l)a\).

3. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

4. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к каждому уравнению:

а) Раскрыли скобки, собрали подобные члены, содержащие \(x\), в левой части уравнения и свободные (числа) в правой части уравнения, получили линейное уравнение \( 3x = - 6\), решив которое, нашли \(x = -2\).

б) Раскрыли скобки, собрали подобные члены, содержащие \(y\), в левой части уравнения и свободные (числа) в правой части уравнения, получили линейное уравнение \(-y = -8\), решив которое, нашли \(y = 8\).

в) Перевели смешанные числа в неправильные дроби, раскрыли скобки и собрали подобные члены, содержащие \(a\), в левой части уравнения и свободные (числа) в правой части уравнения, выполнив перевод в десятичные дроби, получили линейное уравнение \(-2,5a = -1,25\), решив которое, нашли \(a = 0,5\).

г) Раскрыли скобки, собрали подобные члены, содержащие \(y\), в левой части уравнения и свободные (числа) в правой части уравнения, получили линейное уравнение \( 2{,}9x = 5{,}8\), решив которое, нашли \(x = 2\).