Упражнение 700 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((c^2 - cd - d^2)(c + d) = \)

\(=c^3 + c^2d - c^2d - cd^2 - cd^2 - d^3 = \)

\(=c^3 - 2cd^2 - d^3\).

б) \((x - y)(x^2 - xy - y^2) = \)

\(=x^3 - x^2y - xy^2 - x^2y + xy^2 + y^3 = \)

\(= x^3 - 2x^2y + y^3\).

в) \((4a^2 + a + 3)(a - 1) = \)

\(=4a^3 + a^2 + 3a - 4a^2 - a - 3 = \)

\(=4a^3 - 3a^2 + 2a - 3\).

г) \((3 - x)(3x^2 + x - 4) = \)

\(=9x^2 + 3x - 12 - 3x^3 - x^2 + 4x = \)

\(=-3x^3 + 8x^2 + 7x - 12\).

Пояснения:

Правила, использованные при решении:

1) Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок): \[(A + B)C = AC + BC.\]

2) Сложение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

а) При умножении каждого слагаемого первого множителя на каждый член второго получаем шесть членов. Потом сокращаем противоположные по знаку \(c^2d\) и складываем два одинаковых \(-cd^2\).

б) Аналогично: умножаем \(x\) и \(-y\) на каждый из трёх членов второго множителя, получаем по два одинаковых по модулю членов \(-x^2y\) и \(xy^2\), которые складываются.

в) Раскрываем скобки, умножая каждый член многочлена \(4a^2 + a + 3\) на \(a\) и на \(-1\), затем приводим подобные \(a^2\) и \(a\).

г) Умножаем 3 и \(-x\) на каждый из трёх членов \(3x^2 + x - 4\), получаем по одному члену третьей степени, по два — второй и первой, затем приводим подобные.

Решение:

Пусть \(n\), \(n+1\), \(n+2\) - три последовательных натуральных числа. Известно, что \(n^2\) на 65 меньше произведения \((n+1)(n+2)\) .

Составим уравнение.

\(n^2 = (n+1)(n+2) - 65\).

\(n^2 = n^2 + 2n + n + 2 - 65\).

\(n^2 = n^2 + 3n - 63\).

\(n^2 - n^2 - 3n = -63\) 

\(-3n = -63\) 

\(n = \frac{63}{3}\)

\(n = 21\).

\(21 + 1 = 22\) - второе число.

\(21 + 2 = 23\) - третье число.

Ответ: три числа \(21\), \(22\), \(23\).

Пояснения:

Использованные правила:

— Обозначение последовательных натуральных чисел через неизвестную \(n\).

— Раскрытие произведения:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

— Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то \(A - D = B - C\).

— Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

— Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к шагам:

Сначала вводим обозначения, учитывая обозначение последовательных натуральных чисел через неизвестную \(n\).

Затем составляем уравнение по условию: «квадрат меньшего» равен «произведению двух остальных минус 65».

Далее раскрываем в полученном уравнении скобки:

\((n+1)(n+2)=n^2+3n+2\).

После переносим выражения, содержащие переменную, из левой части уравнения в правую, сокращаем противоположные выражения и приводим подобные, получаем линейное уравнение \(-3n = -63\), решив которое, имеем \(n=21\).

Наконец, подстановка \(n=21\) даёт искомые числа \(21,22,23\).