Упражнение 1103 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(M(5;5)\) и \(N(-10;-19)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} 5 = 5k + b, \\ -19 = -10k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5k + b = 5, \\ -10k + b = -19   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5k + b = 5, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 15k = 24, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = \frac{24}{15}, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = \frac{8}{5}, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = 10k-19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = 10\cdot1,6-19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = 16-19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = -3 \end{cases} \)

\(y=1,6x-3\)

Ответ: \(y=1,6x-3\).

б) \(P(4;1)\) и \(Q(3;-5)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} 1 = 4k + b,\\ -5 = 3k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4k + b=1,\\ 3k + b=-5.   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4k + b=1,\\ -3k - b=5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ -3k - b=5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-3k-5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-3\cdot6-5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-18-5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-23. \end{cases} \)

\(y=6x-23\)

Ответ: \(y=6x-23\).

в) \(A(8;-1)\) и \(B(-4;17)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} -1 = 8k + b,\\ 17 = -4k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8k + b = -1,\\  -4k + b = 17.   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8k + b = -1,\\  4k - b = -17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12k = -18,\\  4k - b = -17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac{18}{12},\\  4k - b = -17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac{3}{2},\\ b = 4k + 17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1,5,\\ b = 4\cdot(-1,5)+17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1,5,\\ b = -6+17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1,5,\\ b = 11. \end{cases} \)

\(y=-1,5x+11\)

Ответ: \(y=-1,5x+11\).

г) \(C(-19;31)\) и \(D(1;-9)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} 31 = -19k + b,\\ -9 = 1\cdot k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -19k + b=31,\\ 1\cdot k + b = -9.  /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} -19k + b=31,\\ -k - b = 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -20k=40,\\ -k - b = 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-\frac{40}{20},\\ b =-k - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =-(-2) - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =2 - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =2 - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =-7. \end{cases} \)

\(y=-2x-7\)

Ответ: \(y=-2x-7\).

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Уравнение линейной функции

\(y=kx+b\).

2) Составление системы из двух уравнений

\(\;y_1 = kx_1 + b,\;y_2 = kx_2 + b\),

где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты точек, через которые проходит прямая.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Пусть \(x\) (см) боковая сторона, а \(y\) (см) - основание.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} y + 2x = 43,\\ y - x= 7    /\times2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y + 2x = 43,\\ 2y - 2x= 14 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y = 57,\\ 2y - 2x= 14 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{57}{3},\\ 2x = 2y-14 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 19,\\ 2x = 2\cdot19 - 14 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 19,\\ 2x = 38 - 14 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 19,\\ 2x = 24 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 19,\\ x = \frac{24}{2} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 19,\\ x = 12 \end{cases} \)

Ответ: боковая сторона треугольника равна 12 см.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение двух переменных: \(x\) — боковая сторона, \(y\) — основание.

2) Составление системы по периметру (периметр треугольника равен сумме трех е сторон, при этом у равнобедренного треугольника боковые стороны равны) и по разности сторон.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Если необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

4) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

5) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.