Упражнение 978 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x + y)^6 + (x - y)^6=\)

\(=(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) + (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)=\)

\(=x^6 + \cancel{6x^5y} + 15x^4y^2 + \cancel{20x^3y^3} + 15x^2y^4 + \cancel{6xy^5} + y^6+x^6 - \cancel{6x^5y} + 15x^4y^2 - \cancel{20x^3y^3} + 15x^2y^4 - \cancel{6xy^5} + y^6= \)

\(=(x^6 + x^6) + (15x^4y^2 + 15x^4y^2) + (15x^2y^4 + 15x^2y^4) + (y^6 + y^6) =\)

\(= 2\,x^6 + 30\,x^4y^2 + 30\,x^2y^4+2\,y^6. \)

б) \( (x + y)^6 - (x - y)^6 = \)

\(=(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6)-(x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)= \)

\( = \cancel{x^6} + 6x^5y + \cancel{15x^4y^2} + 20x^3y^3 + \cancel{15x^2y^4} + 6xy^5 + \cancel{y^6} - \cancel{x^6} + 6x^5y - \cancel{15x^4y^2} + 20x^3y^3 - \cancel{15x^2y^4} + 6xy^5 - \cancel{y^6}= \)

\(=(6x^5y + 6x^5y) + (20x^3y^3 + 20x^3y^3) + (6xy^5 + 6xy^5) = \)

\(=12\,x^5y+40\,x^3y^3+12\,x\,y^5. \)

Пояснения:

1) При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Значит, коэффициенты двучлена четвертой степени равны:

1; 6; 15; 20; 15; 6; 1.

Тогда:

\((x + y)^6=x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\).

\( (x - y)^6=x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6\).

2) Сумма и разность:

— При сложении \((x + y)^6 + (x - y)^6\) все члены с нечётными степенями \(y\) сокращаются (так как они входят с противоположными знаками).

— При вычитании \((x + y)^6 - (x - y)^6\) остаются только члены с нечётными степенями \(y\), причём их коэффициенты удваиваются.

3) Итоговые многочлены:

— \((x + y)^6 + (x - y)^6 = 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6.\)

— \((x + y)^6 - (x - y)^6 = 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5.\)

Таким образом получены искомые представления в виде многочленов.

а) \((x - 7)^2 + 3 = (x - 2)(x + 2)\)

\(x^2 - 14x + 49 + 3 = x^2 - 4\)

\(\cancel{x^2} - 14x - \cancel{x^2} = -4 - 49 - 3\)

\(-14x = -56\)

\(x = \frac{-56}{-14}\)

\(x = 4\)

Ответ: \(x = 4\).

б) \((x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79\)

\( \bigl(x^2 + 12x + 36\bigr) - \bigl(x^2 - 25\bigr) = 79 \)

\( \cancel{x^2} + 12x + 36 - \cancel{x^2} + 25 = 79 \)

\( 12x + 61 = 79 \)

\( 12x = 79 - 61\)

\(12x = 18\)

\( x = \frac{18}{12} \)

\(x=\frac{3}{2} \)

\(x=1,5\)

Ответ: \(x=1,5\).

в) \((2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2\)

\((4x^2 - 12x + 9) - (49 - 28x + 4x^2) = 2\)

\(\cancel{4x^2} - 12x + 9 - 49 + 28x - \cancel{4x^2} = 2\)

\( 16x - 40 = 2 \)

\( 16x = 2 + 40 \)

\(16x = 42 \)

\(x = \frac{42}{16} \)

\(x=2\frac{5}{8} \)

Ответ: \(x=2\frac{5}{8} \).

г) \((5x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = 16x(x - 3)\)

\( (25x^2 - 10x + 1) - (9x^2 - 6x + 1) = 16x^2 - 48x \)

\( 25x^2 - 10x + \cancel{1} - 9x^2 + 6x - \cancel{1} = 16x^2 - 48x \)

\( 16x^2 - 4x = 16x^2 - 48x \)

\( 16x^2 - 4x - 16x^2 + 48x = 0 \)

\(44x = 0 \)

\(x = 0 \)

Ответ: \(x = 0 \).

Пояснения:

Правила и приёмы, использованные при решении уравнений:

1. Формула произведения суммы и разности двух выражений:

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. \)

2. Формулы квадрата двучлена:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

3. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

4. Алгоритм решения уравнений:

— Раскрыть все скобки в левой и правой частях, используя формулы разности квадратов и произведения двучленов.
— Перенести всё члены с переменной в левую сторону, а без переменной в правую, привести подобные члены, в результате чего члены с \(x^2\) сократятся и получится линейное уравнение \(ax = b\), которое при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

Пояснения к каждому пункту:

а) После раскрытия \((x - 7)^2 + 3\) и \((x - 2)(x + 2)\) мы получили линейное уравнение \(-14x = -56\), корень которого \(x = 4\).

б) Вычитание \((x - 5)(x + 5)\) из

\((x + 6)^2\) дало линейное уравнение \(12x = 18\), корень которого \(x = 1,5\).

в) После раскрытия  \((2x - 3)^2\) и

\( (7 - 2x)^2\) получили линейное уравнение \(16x = 42\), корень которого 2\(x = \frac{5}{8}\).

г) Раскрытие квадратов в левой части и правой части дало линейное уравнение \(44x = 0\), корень которого \(x = 0\).