Упражнение 981 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(83^4 + 65\) кратно \(81\)

\(83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65 =\)

\(=81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2+ 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 2^4 + 65= \)

\(=81^4 + 8 \cdot 81^3 + 24 \cdot 81^2 + 32 \cdot 81 + 16 + 65= \)

\(=81^4 + 8 \cdot 81^3 + 24 \cdot 81^2 + 32 \cdot 81 + 81= \)

\(=81\cdot(81^3 + 8 \cdot 81^2 + 24 \cdot 81 + 32 + 1) \) - кратно \(81\).

Что и требовалось доказать.

б) \(141^{10} + 88\) кратно \(139.\)

\(141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88= \)

\(=139^{10} + ... + 2^{10} + 88 = \)

\(= 139^{10} + ... + 1024 + 88 =\)

\(=139^{10} + ... + 1112 =\)

\(=139\cdot(139^9 + ... + 8)\) - кратно \(139\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

а) Коэффициенты двучлена четвертой степени равны:

1; 4; 6; 4; 1.

Тогда \(83^4 = (81 + 2)^4\) можно разложить по формуле с помощью треугольника Паскаля. В результате в рассматриваемом выражении слагаемые, начиная с первого до четвертого, содержат хотя бы одну степень 81 (то есть множитель 81), также пятое и шестое слагаемые в сумме дают 81, следовательно, у всех слагаемых можно вынести за скобки общий множитель 81. В полученном произведении один из множителей равен 81, значит, произведение кратно 81.

б) Рассуждаем аналогично пункту а).

а) \( x^{10} - 1 =( x^5)^2 - 1^2 =\)

\(=(x^5 - 1)(x^5 + 1). \)

б) \( y^{12} - 16 = (y^6)^2 - 4^2 =\)

\(=(y^6 - 4)(y^6 + 4) = \)

\(=((y^3)^2 - 2^2)(y^6 + 4) = \)

\(= (y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4). \)

в) \( a^2 x^8 - 81 =(a^2x^4)^2 - 9^2 =\)

\(=(a x^4 - 9)(a x^4 + 9). \)

г) \( 36 - b^4 y^6 = 6^2 - (b^2y^3)^2 =\)

\(=(6 - b^2 y^3)(6 + b^2 y^3). \)

д) \( 25 p^4 q^4 - 1 = (5p^2q^2)^2 - 1^2 =\)

\(=(5 p^2 q^2 - 1)(5 p^2 q^2 + 1). \)

е) \( 121 m^8 n^8 - 9 =\)

\(=(11m^4n^4)^2 - 3^2 =\)

\(=(11 m^4 n^4 - 3)(11 m^4 n^4 + 3). \)

ж) \( 0{,}01 x^{16} - 0{,}16 =\)

\(=(0,1x^4)^2 - 0,4^2 =\)

\(=(0{,}1 x^8 - 0{,}4)(0{,}1 x^8 + 0{,}4). \)

з) \( 1{,}69 y^{14} - 1{,}21 =\)

\(=(1,3y^7)^2 - 1,1^2 =\)

\(=(1{,}3 y^7 - 1{,}1)(1{,}3 y^7 + 1{,}1). \)

и) \( \frac{4}{9} m^6 - \frac{25}{36} = \Bigl(\frac{2}{3} m^3\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^2=\)

\(=\Bigl(\frac{2}{3} m^3 - \frac{5}{6}\Bigr)\Bigl(\frac{2}{3} m^3 + \frac{5}{6}\Bigr). \)

Пояснения:

Основные правила и приёмы, использованные при разложении на множители:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\),

\(((a)^m)^n = a^{mn}\).

3. Для каждого выражения выполняется два действия:

— Шаг 1: Определяем подходящие выражения, чтобы данное выражение можно было представить как разность квадратов.

— Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов. Получив множители, при необходимости упрощаем числовые коэффициенты или дополнительно раскладываем разности квадратов внутри.

В результате получаем все выражения в виде произведения двух (или более, если есть дополнительное разложение) множителей.