Упражнение 983 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

а) \(\;(x + 7)^2 - (x - 5)(x + 19)=\)

\(= x^2 + 14x + 49 - (x^2 + 19x - 5x - 95)=\)

\(=\cancel{x^2} + \cancel{14x} + 49 - \cancel{x^2} - \cancel{19x} + \cancel{5x} + 95 =\)

\(=49 + 95 = 144 \) - не зависит от \(x\).

б) \(\;(x + 9)^2 + (8 - x)(x + 26)=\)

\(= \cancel{x^2} + \cancel{18x} + 81 + \cancel{8x} + 208 - \cancel{x^2} - \cancel{26x}=\)

\(=81 + 208 = 289\) - не зависит от \(x\).

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

Вычитание многочленов: при вычитании многочленов у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок меняем все знаки на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

1) Раскрытие скобок и приведение подобных членов:

— При раскрытии скобок мы получили многочлены, каждое слагаемое которых содержало одинаковую степень \(x\).

— При вычитании или сложении многочленов одинаковые по степени члены взаимно сокращаются, остаётся только постоянная часть.

2) Независимость от \(x\):

— В обоих случаях после раскрытия и приведения подобных членов все члены, содержащие \(x\), сокращаются (так как \(x^2 - x^2 = 0\) и \(ax - ax = 0\)), и остаётся только сумма чисел.

— В пункте (а) это сумма

\(49 + 95 = 144\).

— В пункте (б) это сумма

\(81 + 208 = 289\).

— Поэтому конечный результат в обоих выражениях не зависит от значения \(x\).

а) \( 16 - 9(p + 3)^2 = \)

\( = 4^2 - (3(p + 3))^2 = \)

\(=\bigl(4 - 3(p + 3)\bigr)\bigl(4 + 3(p + 3)\bigr). \)

\(= (4 - 3p - 9)( 4 + 3p + 9 )=\)

\(= (-3p - 5)(3p + 13). \)

б) \( 9 - 25(4 - x)^2 =\)

\(=3^2 - (5(4 - x))^2 =\)

\(= \bigl(3 - 5(4 - x)\bigr)\bigl(3 + 5(4 - x)\bigr)= \)

\(= (3 - 20 + 5x)(3 + 20 - 5x)=\)

\(= (5x - 17)(23 - 5x). \)

в) \(1 - 36(3y - 1)^2 = \)

\(=1^2 - (6(3y - 1))^2 = \)

\(= \bigl(1 - 6(3y - 1)\bigr)\bigl(1 + 6(3y - 1)\bigr)= \)

\(= (1 - 6(3y - 1))(1 + 6(3y - 1))=\)

\(= (1 - 18y + 6)(1 + 18y - 6)=\)

\(= (7 - 18y)(18y - 5). \)

г) \( 4 - 9(a + b)^2 = \)

\(= 2^2 - (3(a + b))^2 = \)

\(=\bigl(2 - 3(a + b)\bigr)\bigl(2 + 3(a + b)\bigr)= \)

\(= (2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b).\)

Пояснения:

Основные правила и приёмы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

3. Распределительное свойство умножения:

\(a(b+c) = ab + ac\).

4. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5. Алгоритм разложения для каждого выражения:

— Шаг 1: Представить данное выражение в виде разности квадратов двух выражений.

— Шаг 2: Применить формулу разности квадратов двух выражений.

— Шаг 3: Упростить получившие множители (раскрыть скобки внутри, используя распределительное свойство умножения, привести подобные члены).