Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№729 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Найдите значение выражения:
а) \(p^2q^2 + pq - q^3 - p^3\) при
\(p = 0{,}5\) и \(q = -0{,}5\);
б) \(3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy\) при
\(x = \tfrac{2}{3}\) и \(y = \tfrac{1}{2}\).
№729 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Верно ли, что при любых целых значениях \(a\) и \(b\) произведение
\(ab(a + b)(a - b)\) делится на 3?
№729 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Вспомните:
№729 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Вспомните:
№729 учебника 2023-2025 (стр. 153):
а) \( p^2q^2 + pq - q^3 - p^3 =\)
\(= (p^2q^2 - p^3) + (pq - q^3) =\)
\(=p^2(q^2 - p) + q(p - q^2) =\)
\(=p^2(q^2 - p) - q(q^2 - p) =\)
\(=(p^2 - q)(q^2 - p). \)
Если \(p=0{,}5\) и \(q=-0{,}5\), то
\((0{,}5^2 - (-0{,}5))\,((-0{,}5)^2 - 0{,}5) =\)
\(=(0{,}25 + 0{,}5)\,(0{,}25 - 0{,}5) =\)
\(=0{,}75 \cdot (-0{,}25) = -0{,}1875. \)
| × | 0 | 7 | 5 | ||
| 0 | 2 | 5 | |||
| + | 3 | 7 | 5 | ||
| 1 | 5 | 0 | |||
| 0 | 1 | 8 | 7 | 5 |
б) \( 3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy =\)
\( =(3x^3 + xy) - (6x^2y^2 + 2y^3) =\)
\(=x(3x^2 + y) - 2y^2(3x^2 + y)= \)
\(=(x-2y^2)(3x^2 + y).\)
Если \(x=\tfrac{2}{3}\), \(y=\tfrac{1}{2}\), то
\(\Bigl(\tfrac{2}{3} - 2\cdot(\tfrac{1}{2})^2\Bigr)\,\Bigl(3\cdot(\tfrac{2}{3})^2 + \tfrac{1}{2}\Bigr) =\)
\(=\bigl(\tfrac{2}{3} - \cancel2\cdot\tfrac{1}{\cancel4_{2}}\bigr)\,\bigl(\cancel3\cdot\tfrac{4}{\cancel9_{3}} + \tfrac{1}{2}\bigr) =\)
\(= \Bigl(\tfrac{2}{3}^{\color{blue}{\backslash2}} - \tfrac{1}{2}^{\color{blue}{\backslash3}}\Bigr)\,\Bigl(\tfrac{4}{3}^{\color{blue}{\backslash2}} + \tfrac{1}{2}^{\color{blue}{\backslash3}}\Bigr) =\)
\(=\bigl(\tfrac{4}{6} - \tfrac{3}{6}\bigr)\,(\tfrac{8}{6} + \tfrac{3}{6}\bigr)=\)
\(=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{11}{6} = \tfrac{11}{36}. \)
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
4. Умножение степеней:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
Пояснение к пункту а):
1) Сгруппировали члены так, чтобы вынести общий множитель:
\(p^2q^2 - p^3 = -p\,(p^2 - q^2)\),
\(pq - q^3 = q\,(p - q^2)\),
и получили \((q^2 - p)(p^2 - q)\).
2) Подставили числа и вычислили разность и сумму в скобках.
3) Перемножили результаты скобок.
Пояснение к пункту б):
1) Сгруппировали так:
\((3x^3 + xy) = x(3x^2 + y)\),
\(-6x^2y^2 - 2y^3 = -2y^2(3x^2 + y)\)
и получили \((x - 2y^2)(3x^2 + y)\).
2) Подставили числа и вычислили разность и сумму в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.
3) Перемножили результаты скобок.
№729 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Рассмотрим три случая:
1) Если хотя бы одно из чисел \(a\) или \(b\) делится на 3, то произведение
\(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.
2) Если ни \(a\), ни \(b\) не делятся на 3 и остатки одинаковые.
\(a=3k+1\), \(b=3p+1\),
где \(k\) или \(p\) - целые числа.
\(a-b=(3k+1)-(3p+1)=\)
\(=3k+1-3p-1=3k-3p=\)
3(k-p) - делится на3, значит, произведение \(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.
\(a=3k+2\), \(b=3p+2\),
где \(k\) или \(p\) - целые числа.
\(a-b=(3k+2)-(3p+2)=\)
\(=3k+2-3p-2=3k-3p=\)
\(=3(k-p)\) - делится на 3, значит, произведение \(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.
3) Если ни \(a\), ни \(b\) не делятся на 3 и остатки разные.
\(a=3k+1\), \(b=3p+2\),
где \(k\) или \(p\) - целые числа.
\(a+b=(3k+2)+(3p+2)=\)
\(=3k+1+3p+2=3k+3p+3=\)
\(=3(k+p+1)\) - делится на 3, значит, произведение \(ab(a+b)(a-b)\) делится на 3.
Пояснения:
Делимость на 3. Чтобы показать, что произведение делится на 3, достаточно найти в нём хотя бы один множитель, делящийся на 3.
При делении на 3 возможны три остатка: 0, 1 или 2, так как остаток всегда должен быть меньше делителя.
Вернуться к содержанию учебника