Упражнение 733 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2y + x + xy^2 + y + 2xy + 2 =\)

\(=(x^2y + xy^2 + 2xy) + (x + y + 2) =\)

\(=xy\,(x+y+2) + 1\cdot(x+y+2) =\)

\(=(xy+1)\,(x+y+2). \)

б) \( x^2 - xy + x - xy^2 + y^3 - y^2 =\)

\(=(x^2 - xy^2) + (x - y^2) - (xy - y^3) =\)

\(=x\,(x - y^2) + 1\cdot(x - y^2) - y\,(x - y^2) =\)

\(=(x - y^2)\,(x + 1 - y). \)

Пояснения:

Использованные правила:

1. Группировка однотипных слагаемых.

2. Вынесение общего множителя за скобку:

\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)

\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)

Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.

3. Перестановка слагаемых не меняет результат:

\(A + B = B + A\).

4. Умножение степеней:

\(a^n + a^m=a^{m+n}\).

Пояснение к пункту а):

Сгруппировали первый, третий и пятый члены, второй, четвертый и шестой члены, вынесли общие множители \(xy\) и \(1\) в каждой группе соответственно, получили общий множитель \(x+y+2\), который вынесли за скобку, и получили разложение

\((xy+1)\,(x+y+2). \)

Пояснение к пункту б):

Сгруппировали первый и четвертый члены, третий и шестой члены, второй и пятый члены, вынесли общие множители \(x\), \(1\) и \(y\) в каждой группе соответственно, получили общий множитель \(x-y^2\), который вынесли за скобку, и получили разложение

\((x - y^2)\,(x + 1 - y). \)

\(6 = 2 \cdot 3\)

Делимость на 2:

Если \(n\) чётное число, то в произведении \(n(2n+1)(7n+1)\) множитель \(n\) делится на 2 и все произведение делится на 2.

Если \(n\) нечётное число, то \(7n\) нечётное число, а значит \(7n+1\) — чётное число, тогда в произведении

\(n(2n+1)(7n+1)\) множитель

\((7n+1)\) делится на 2 и все произведение делится на 2.

Делимость на 3:

Если \(n = 3k\), то \(n\) делится на 3, тогда и произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится на 3.

Если \(n = 3k + 1\), то

\( 2n + 1 = 2(3k+1) + 1 =\)

\(=6k + 2 + 1 = 6k + 3 =\)

\(=3(2k + 1) \) - делится на 3, значит, множитель \(2n+1\) делится на 3, тогда и произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится на 3.

и множитель \(2n+1\) делится на 3.

Если \(n = 3k + 2\), то

\( 7n + 1 = 7(3k+2) + 1 =\)

\(=21k + 14 + 1 = 21k + 15 =\)

\(=3(7k + 5), \) - делится на 3, значит, множитель \(7n+1\) делится на 3, тогда и произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится на 3.

Произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится и на 2, и на 3 при любом натуральном \(n\), значит, делится и на 6.

Пояснения:

1. Делимость на составные числа. Чтобы доказать делимость на 6, удобно разделить задачу на проверку делимости на 2 и на 3, т.к. \(6 = 2 \cdot 3\).

2. Делимость на 2 (чётность). Произведение целых чисел чётно, если хотя бы один множитель чётен. Мы показали это для случая чётного \(n\) и для нечётного \(n\).

3. Делимость на 3. Любое натуральное \(n\) можно представить в одной из форм \(3k\), \(3k+1\) или \(3k+2\), так как при делении на 3 возможны остатки 0, 1 или 2. Для каждого случая мы явно выписали один из множителей, делящийся на 3.

4. Итог. Наличие в произведении множителя, делящегося на 2, и множителя, делящегося на 3, гарантирует делимость на 6.