Простейшие задачи в координатах

Метод координат - это подход к изучению свойств геометрических фигур, используя методы алгебры.

Задачи

1. Координаты середины отрезка.

Дано: система координат , А(₁; ₁), В(₂; ₂), С середина отрезка АВ.

Выразить: координаты С(; ) через координаты концов отрезка АВ.

Решение:

С - середина отрезка АВ, поэтому .  (1)

(Доказательство утверждения (1) приведено в разделе "Применение векторов к решению задач").

Координаты векторов , и равны соответствующим координатам точек С, А и В:

, и .

Записывая равенство (1) в координатах, получим:

, следовательно, и .

Вывод:

2. Вычисление длины вектора по его координатам.

Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

1. и .

Отложим от начала координат вектор и проведем через точку А перпендикуляры АА₁ и АА₂ к осям и .

Координаты точки А равны координатам вектора , т.е. (; ). Поэтому . По теореме Пифагора: .

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

2. и .

Отложим от начала координат вектор , учитывая то, что .

.

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

3. и .

Отложим от начала координат вектор , учитывая то, что .

.

Но , следовательно, . Что и требовалось доказать.

Вывод:

3. Расстояние между двумя точками.

Дано: М₁(₁; ₁), М₂(₂; ₂), - расстояние между М₁ и М₂.

Выразить: через координаты М₁ и М₂.

Решение:

Рассмотрим вектор , каждая его координата равна разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. . Следовательно, длина этого вектора: .

Но , значит, расстояние между точками М₁(₁; ₁) и М₂(₂; ₂) выражается формулой:

.

Вывод: