Задание 411 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: прямые , b и окр. (О).

Построить: а) прямую ₁, симметричную прямой относительно прямой b. б) Используя прямую ₁, постройте отрезок так, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой и данной окружности.

Решение:

1 случай

а)

Точка К симметрична сама себе относительно b, точка М₁ по построению симметрична М относительно b, ₁ симметрична относительно b.

б) Невозможно построить.

2 случай

а)

Точка К симметрична сама себе относительно b, точка М₁ по построению симметрична М относительно b, ₁ симметрична относительно b.

б)

Точки С и С₁ по построению симметричны относительно b, прямая b - серединный перпендикуляр к отрезку СС₁.

3 случай

а)

Точка К симметрична сама себе относительно b, точка М₁ по построению симметрична М относительно b,   ₁ симметрична относительно b.

б)

Точки С и С₁ по построению симметричны относительно b, прямая b - серединный перпендикуляр к отрезку СС₁.

Точки Н и Н₁ по построению симметричны относительно b, прямая b - серединный перпендикуляр к отрезку РР₁.

Пояснения:

Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно. Данная прямая называется осью симметрии этих фигур. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему. Прямая называется осью симметрии точек A и A₁. Каждая точка оси симметрична самой себе.

1 случай

Прямая ₁ и окружность не будут иметь общих точек.

а) Нам даны две прямые , b и окружность с центром О. Чертим их.

Прямая однозначно задается двумя точками, поэтому, чтобы построить прямую ₁, симметричную прямой относительно b, нужно двум точкам лежащим на прямой построить две симметричные точки относительно прямой b, через которые и пройдет прямая ₁.

Точка пересечения прямых и b, обозначим ее буквой K, относительно прямой р будет симметрична сама себе. Отметим точку М на прямой и построим точку М₁, симметричную ей относительно b. Для этого строим с помощью циркуля окружность с центром М так, чтобы она пересекла прямую b в двух точках, обозначим их Р и Е (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Далее строим две окружности с центрами в точках Р и Е так, чтобы каждая из них проходила через точку М (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Эти окружности пересекутся в двух точках, одна из них точка М, а друга точка М₁, которая и будет симметрична точке М относительно b. Через точки К и М₁ проводим прямую ₁, симметричную прямой относительно b.

б)  В рассматриваемом случае, когда прямая ₁ и окружность не имеют общих точек, построить отрезок такой, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой и данной окружности, нельзя.

2 случай

Прямая ₁ и окружность будут иметь одну общую точку, для этого меняем расположение прямых , b и окружности.

а) Прямую ₁, симметричную прямой , относительно b, строим по алгоритму, приведенному в первом случае.

б) У нас получилось, что прямая ₁ и окружность имеют одну общую точку, обозначим эту точку буквой С₁. Точка С₁ лежит на окружности, при этом она симметрична какой-то из точек, лежащей на прямой , относительно b, так как по построению прямые  и ₁ симметричны относительно прямой b. Построим эту точку.

Сначала строим с помощью циркуля окружность с центром С₁ так, чтобы она пересекла прямую b в двух точках, обозначим их D и F (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное коричневым цветом). Далее строим две окружности с центрами в точках D и F так, чтобы каждая из них проходила через точку C₁ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и желтым цветом). Эти окружности пересекутся в двух точках, одна из них точка C₁, а другая - точка C, которая и будет симметрична точке C₁ относительно b. Соединяем точки C и C₁ и получаем отрезок CC₁, у которого концы лежат соответственно на прямой и данной окружности и прямая b ось симметрии отрезка CC₁.

3 случай

Прямая ₁ и окружность будут иметь две общие точки, для этого меняем расположение прямых , b и окружности.

а) Прямую ₁, симметричную прямой , относительно b, строим по алгоритму, приведенному в первом случае.

б) У нас получилось, что прямая ₁ и окружность имеют две общие точки, обозначим эти точку буквой С₁ и H₁. Точки С₁ и H₁ лежит на окружности, при этом они симметричны каким-то двум точкам, лежащим на прямой , относительно b, так как по построению прямые и ₁ симметричны относительно прямой b. Построим эти точки.

Сначала построим точку С, симметричную точке С₁, для этого строим с помощью циркуля окружность с центром С₁ так, чтобы она пересекла прямую b в двух точках, обозначим их D и F (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное коричневым цветом). Далее строим две окружности с центрами в точках D и F так, чтобы каждая из них проходила через точку C₁ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и желтым цветом). Эти окружности пересекутся в двух точках, одна из них точка C₁, а другая - точка C, которая и будет симметрична точке C₁ относительно b. Соединяем точки C и C₁ и получаем отрезок CC₁, у которого концы лежат соответственно на прямой и данной окружности и прямая b ось симметрии отрезка CC₁.

Затем по алгоритму построения отрезка СС₁ строим отрезок НН₁, у которого концы лежат соответственно на прямой и данной окружности и прямая b ось симметрии отрезка НН₁.