Неравенство треугольника / Соотношения между сторонами и углами треугольника / Справочник по геометрии 7-9 класс

Неравенство треугольника

Теорема

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство:

Дано: АВС.

Доказать: АВВС + АС.

Доказательство:

Сделаем дополнительное построение. Отложим на продолжении стороны ВС отрезок СD, равный стороне АС.

По построению СD = АС, следовательно, АСD - равнобедренный с основанием АD, тогда 1 = 2 (углы при основании), при этом в АВD ВАD2, следовательно, ВАD1.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит, АВВD. При этом ВD = ВС + СD, а учитывая то, что по построению СD = АС получим, ВD = ВС + АС, поэтому АВВС + АС. Что и требовалось доказать.

Следствие

Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ

АС+СВ, АС

АВ+ВС, ВС

ВА+АС.

Каждое из неравенств АВАС+СВ, АСАВ+ВС, ВСВА+АС, называется неравенством треугольника.

Неравенство треугольника

Доказательство:

Следствие

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях: