Неравенство треугольника

Теорема

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство:

Дано: АВС.

Доказать: АВВС + АС.

Доказательство:

Сделаем дополнительное построение. Отложим на продолжении стороны ВС отрезок СD, равный стороне АС.

По построению СD = АС, следовательно, АСD - равнобедренный с основанием АD, тогда 1 = 2 (углы при основании), при этом в АВD ВАD2, следовательно, ВАD1.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит, АВВD. При этом ВD = ВС + СD, а учитывая то, что по построению СD = АС получим, ВD = ВС + АС, поэтому АВВС + АС. Что и требовалось доказать.

Следствие

Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВАС+СВ, АСАВ+ВС, ВСВА+АС.

Каждое из неравенств АВАС+СВ, АСАВ+ВС, ВСВА+АС, называется неравенством треугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Теорема о сумме углов треугольника

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 248, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 292, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 304*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 355, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 760, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 773, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 818, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1175, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1176, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1232, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник