Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 1800.

Дано: АОВ, А1О1В1, ОАО1А1, ОВО1В1.

Доказать: АОВ = А1О1В1 или АОВ + А1О1В1 = 1800.

Доказательство:

Если угол АОВ - развернутый, значит лучи ОА  и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит точки О1А1  и О1В1  также будут лежать на одной прямой, следовательно, А1О1В- будет развернутым, тогда АОВ = А1О1В1 (Рис. 1).

Если угол АОВ - неразвернутый, то возможны два случая расположения углов АОВ и А1О1В1.

1 случай

Прямая О1В1 пересекает прямую О1А1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М (смотри следствие 10 из аксиомы параллельных прямых). Параллельные прямые ОВ и О1В1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов (1), образованных при пересечении прямых О1В1 и ОА (Рис.2) равен углу АОВ, т.е. 1 = АОВ (по теореме о накрест лежащих углах). Параллельные прямые ОА и О1А1 пересечены секущей О1М, поэтому 1 = А1О1В1.

Из равенств 1 = АОВ и 1 = А1О1В1 следует, что АОВ =А1О1В1.

2 случай

Прямая О1В1 пересекает прямую О1А1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М (смотри следствие 10 из аксиомы параллельных прямых). Параллельные прямые ОВ и О1В1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов (1), образованных при пересечении прямых О1В1 и ОА (Рис.3) равен углу АОВ, т.е. 1 +А1О1В1 = 1800 (по теореме об односторонних углах). Параллельные прямые ОА и О1А1 пересечены секущей О1М, поэтому 1 = А1О1В1.

Из равенств 1 = АОВ и 1 +А1О1В1 = 1800 следует, что АОВ +А1О1В1 = 1800. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1278, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1286, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник