Теорема
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 1800. |
Дано: АОВ, А1О1В1, ОАО1А1, ОВО1В1.
Доказать: АОВ = А1О1В1 или АОВ + А1О1В1 = 1800.
Доказательство:
Если угол АОВ - развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит точки О1А1 и О1В1 также будут лежать на одной прямой, следовательно, А1О1В1 - будет развернутым, тогда АОВ = А1О1В1 (Рис. 1).
Если угол АОВ - неразвернутый, то возможны два случая расположения углов АОВ и А1О1В1.
1 случай
Прямая О1В1 пересекает прямую О1А1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М (смотри следствие 10 из аксиомы параллельных прямых). Параллельные прямые ОВ и О1В1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов (1), образованных при пересечении прямых О1В1 и ОА (Рис.2) равен углу АОВ, т.е. 1 = АОВ (по теореме о накрест лежащих углах). Параллельные прямые ОА и О1А1 пересечены секущей О1М, поэтому 1 = А1О1В1.
Из равенств 1 = АОВ и 1 = А1О1В1 следует, что АОВ =А1О1В1.
2 случай
Прямая О1В1 пересекает прямую О1А1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М (смотри следствие 10 из аксиомы параллельных прямых). Параллельные прямые ОВ и О1В1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов (1), образованных при пересечении прямых О1В1 и ОА (Рис.3) равен углу АОВ, т.е. 1 +А1О1В1 = 1800 (по теореме об односторонних углах). Параллельные прямые ОА и О1А1 пересечены секущей О1М, поэтому 1 = А1О1В1.
Из равенств 1 = АОВ и 1 +А1О1В1 = 1800 следует, что АОВ +А1О1В1 = 1800. Что и требовалось доказать.
Признаки параллельности двух прямых
Практические способы построения параллельных прямых
Теорема о накрест лежащих углах
Теорема о соответственных углах
Теорема об односторонних углах
Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами
7 класс
Задание 1278, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1286, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник