Аксиома параллельных прямых

Рассмотрим произвольную прямую и точку М, не лежащую на ней (Рис.1).

Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой . Для этого проведем через точку М две прямые: сначала прямую перпендикулярно к прямой , а затем прямую перпендикулярно к прямой (Рис.2). А из того, что две прямые и перпендикулярны к третьей прямой следует, что они параллельны ().

Возникает вопрос: можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой ?

Если прямую "повернуть" на какой-то угол вокруг точки М, то она пересечет прямую (прямая ^' на рис.3).

То есть нам кажется, что через точку М нельзя провести прямую отличную от прямой , параллельную прямой . Утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.

Аксиома параллельных прямых

Следствия из аксиомы параллельных прямых

Дано: , = М (Рис.4).

Доказать: .

Доказательство:

Если мы предположим, что прямая не пересекает прямую , то прямая будет параллельна прямой , а по условию через точку М проходит прямая параллельная прямой , значит получим, что через точку М будут проходить две прямые и параллельные прямой (Рис.5).

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит, наше предположение неверно, и прямая пересекает прямую , т.е. . Что и требовалось доказать.

Дано: ,  (Рис.6).

Доказать: .

Доказательство:

Предположим, что прямые и не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рис.7).

Тогда получим, что через точку М проходят две прямые и параллельные прямой , т.к. по условию и  . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, следовательно, наше предположение неверно, значит, прямые и параллельны, т.е. . Что и требовалось доказать.

Следствие - утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем.