Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 1800.

Дано: АОВ, А1О1В1, ОАО1А1, ОВО1В1.

Доказать: АОВ = А1О1В1 или АОВ + А1О1В1 = 1800.

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ - развернутый (Рис. 1).

Угол АОВ - развернутый, значит лучи ОА  и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит, лучи О1А1  и О1В1  также будут лежать на одной прямой, следовательно, А1О1В- будет развернутым, тогда АОВ = А1О1В1.

2 случай

Пусть угол АОВ - прямой, т.е. равен 900 (Рис.2). 

АОВ = 900, то ОАОВ, при этом по условию ОАО1А1, следовательно, ОВО1А1. Итак, О1В1 - секущая относительно прямых ОВ и О1А1, ОВО1А1, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 1800, т.е. 1 + А1О1В1 = 1800, откуда А1О1В1 = 1800 -1, при этом по условию ОВО1В1, значит 1 - прямой, т.е. 1 = 900, следовательно, А1О1В1 = 1800 - 900 = 900. Из равенств АОВ = 900 и А1О1В1 = 900 следует, что АОВ = А1О1В1   и АОВ + А1О1В1 = 900 + 900 = 1800.

3 случай

Пусть ОО1А1 (Рис.3).

По условию ОО1А1, тогда лучи ОВ и О1А1 будут лежать на одной прямой А1В. По условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит, ОА и О1В1 будут перпендикулярны одной прямой А1В, следовательно, ОАО1В1. Итак, ОАО1В1, А1В - секущая относительно прямых ОА и О1В1, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А1О1В1, причем, учитывая то, что ОАО1А1, ОВО1В1 эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А1О1В1 = 900, тогда АОВ + А1О1В1900 + 900 = 1800.

4 случай

Пусть ОО1В1 (Рис.4).

По условию ОО1В1, тогда лучи ОА и О1В1 будут лежать на одной прямой В1А. По условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит ОВ и О1А1 будут перпендикулярны одной прямой В1А, следовательно, ОВО1А1. Итак, ОВО1А1, В1А - секущая относительно прямых ОВ и О1А1, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А1О1В1, причем, учитывая то, что ОАО1А1, ОВО1В1 эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А1О1В1 = 900, тогда АОВ + А1О1В1900 + 900 = 1800.

5 случай

Пусть угол АОВ - острый, т.е. меньше 900, при этом ОО1А1, ОО1В1 (Рис.5).

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

Получим, что АОВ = 900 - АОD, а СОD = 900 - АОD, значит АОВ = СОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А1О1В1, т.е. ОСО1А1 (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАОС и по условию ОАО1А1), также ОDО1В1 (т.к. по построению ОВОD и по условию ОВО1В1), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо СОD = А1О1В1, либо СОD + А1О1В1 = 1800. Следовательно, учитывая то, что АОВ = СОD получим, либо АОВ = А1О1В1, либо АОВ + А1О1В1 = 1800.

6 случай

Пусть угол АОВ - тупой, т.е. меньше 1800, но больше 900, при этом ОО1А1, ОО1В1 (Рис.7).

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А1О1В1. Следовательно, либо АОС + А1О1В1 = 1800, либо АОС = А1О1В1 (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 1800, значит АОС = 1800 - АОВ, следовательно, в первом случае 1800 - АОВ + А1О1В1 = 1800, откуда АОВ = А1О1В1, а во втором случае 1800 - АОВ = А1О1В1, откуда АОВ + А1О1В1 = 1800. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 212, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1278, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник