Упражнение 890 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( xy^2 < x\)

\[ xy^2-x < 0 \]

\[ x(y^2-1)<0 \]

\[ x(y-1)(y+1)<0 \]

\[ x(y-1)(y+1)=0 \]

\(x = 0\) или \(y - 1 = 0\) или \(y = 1\)

                  \(y = 1\)                \(y = -1\)

\(A(2; 0)\)

\( 2\cdot0^2 < 2\)

\(0 < 2\) - верно.

б) \( y^2-x^2y+2x^2>2y \)

\( y^2 - 2y-x^2y+2x^2>0 \)

\( y(y - 2)-x^2(y-2)>0 \)

\( (y - 2)(y-x^2)>0 \)

\[ (y-2)(y-x^2)=0 \]

\(y - 2=0\) или \(y -x^2=0\)

\(y = 2\)                \(y = x^2\)

\(A(0; 4)\)

\( 4^2-0^2\cdot4+2\cdot0^2>2\cdot4 \)

\(16 > 8\) - верно.

в) \( x^3+xy^2-4x<0 \)

\[ x(x^2+y^2-4)<0 \]

\[ x(x^2+y^2-4)=0 \]

\(x =0\)  или \(x^2+y^2-4=0\)

                   \(x^2+y^2=4\)

                   \(x^2+y^2=2^2\)

\(A(3;1)\)

\( 3^3+3\cdot1^2-4\cdot3<0 \)

\(18 < 0\) - неверно.

г) \( x^2y+y^3-y>0 \)

\[ y(x^2+y^2-1)>0 \]

\[ y(x^2+y^2-1)=0 \]

\(y=0\)  или  \(x^2+y^2-1=0\)

                    \(x^2+y^2=1\)

\(A(3;1)\)

\( 3^2\cdot1+1^3-1>0 \)

\(9 > 0\)- верно.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Свойство произведения: произведение равно нулю, только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ab=0 \Longleftrightarrow a=0 \text{ или } b=0.\]

2) График функции \(y = x^2\) - парабола.

3) График функции \(x^2 + y^2 = r^2\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r\).

4) Если неравенство строгое (\(>\) или \(<\)), то линия графика не входит в решение (её рисуют пунктиром).

5) Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают эту часть плоскости, если нет - не закрашивают эту часть плоскости. Достаточно определить одну область, остальные чередуют.

\(b_2=-\dfrac{1}{32},\ b_3=\dfrac{1}{16}.\)

\(q=\dfrac{b_3}{b_2}={\frac{1}{16}}:{\biggl(-\frac{1}{32}\biggr)}=\)

\(=-\frac{1}{16}\cdot32=-2\)

\(b_2=b_1 q\)

\(b_1=\dfrac{b_2}{q}={-\frac{1}{32}}:{(-2)}=\dfrac{1}{64}\)

\(b_n=b_1 q^{n-1}\)

\(b_{12}=b_1 q^{11}=\dfrac{1}{64}\cdot(-2)^{11}=\)

\(=\dfrac{(-2)^{11}}{(-2)^{6}}=(-2)^{5}=-32.\)

Ответ: \(b_{12}=-32.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Также помним, что при возведении отрицательного числа в нечётную степень результат отрицательный.