Упражнение 892 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 214

а) \(y \leq \dfrac{10}{|x|}\)

\[ x \ne 0 \]

\[ y=\frac{10}{|x|} \]

\[ \begin{cases} y=\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x > 0,\\[8pt] y=-\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x < 0 \end {cases} \]

1) \(y=\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x > 0\)

\(x\)	1	2	5	10
\(y\)	10	5	2	1

2) \(y=-\dfrac{10}{x}, \, \text{при} \, x < 0\)

\(x\)	-1	-2	-5	-10
\(y\)	10	5	2	1

\(A(2;2)\)

\(2 \leq \dfrac{10}{|2|}\)

\(2 \leq 5\) - верно.

б) \( y+\left|\frac{8}{x}\right|\geq 0 \)

\[ y\geq -\left|\frac{8}{x}\right| \]

\[ x\ne 0 \]

\[ y = -\left|\frac{8}{x}\right| \]

\[ \begin{cases} y=-\dfrac{8}{x}, \, \text{при} \, x > 0,\\[8pt] y=\dfrac{8}{x}, \, \text{при} \, x < 0 \end {cases} \]

 

в)

\[ |y|-x^2+2x\leq 1 \]

\[ |y|\leq x^2-2x+1 \]

\[ |y|\leq (x-1)^2 \]

Отсюда:

\[ -(x-1)^2\leq y\leq (x-1)^2. \]

Искомое множество: все точки между параболами

\[ y=(x-1)^2 \]

и

\[ y=-(x-1)^2, \]

включая границы.

г)

\[ |y|+x^2-4x\geq 4 \]

\[ |y|\geq 4-x^2+4x \]

\[ |y|\geq 8-(x-2)^2 \]

Так как

\[ x^2-4x=(x-2)^2-4, \]

то

\[ 4-x^2+4x=8-(x-2)^2. \]

Далее рассматриваем случаи.

1)

\[ 8-(x-2)^2\leq 0 \]

\[ |y|\geq 8-(x-2)^2 \]

выполняется при любых \(y\).

\[ (x-2)^2\geq 8 \]

\[ x\leq 2-2\sqrt{2}\quad \text{или}\quad x\geq 2+2\sqrt{2}. \]

2)

\[ 8-(x-2)^2>0 \]

\[ |y|\geq 8-(x-2)^2 \]

\[ y\geq 8-(x-2)^2 \quad \text{или}\quad y\leq -\bigl(8-(x-2)^2\bigr). \]

\[ 2-2\sqrt{2}

Итак, искомое множество:

при

\[ x\leq 2-2\sqrt{2}\quad \text{или}\quad x\geq 2+2\sqrt{2} \]

— все точки плоскости;

при

\[ 2-2\sqrt{2}

— точки, лежащие не ниже дуги

\[ y=8-(x-2)^2 \]

и не выше дуги

\[ y=-(8-(x-2)^2). \]

Пояснения:

Во всех пунктах нужно не просто преобразовать неравенство, а понять, какую область на координатной плоскости оно задаёт.

Полезные правила:

\[ |x|= \left\{ \begin{aligned} x, &\quad x\geq 0,\\ -x, &\quad x<0, \end{aligned} \right. \]

\[ |y|\leq a \iff -a\leq y\leq a \quad \text{при } a\geq 0, \]

\[ |y|\geq a \]

при \(a>0\) означает

\[ y\geq a \quad \text{или}\quad y\leq -a. \]

Также используем выделение полного квадрата:

\[ x^2-2x+1=(x-1)^2, \]

\[ x^2-4x=(x-2)^2-4. \]

В пункте а) дано неравенство

\[ y\leq \frac{10}{|x|}. \]

Здесь \(x=0\) недопустим, потому что делить на нуль нельзя. Граница области — график функции

\[ y=\frac{10}{|x|}. \]

Этот график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси \(Oy\), и расположен выше оси \(Ox\). Так как знак неравенства \(\leq\), нужно взять все точки, лежащие на этом графике и ниже него.

В пункте б) сначала переносим слагаемое:

\[ y+\frac{8}{|x|}\geq 0 \iff y\geq -\frac{8}{|x|}. \]

Снова \(x\ne 0\). Граница — график

\[ y=-\frac{8}{|x|}, \]

то есть две ветви, симметричные относительно оси \(Oy\), но расположенные уже ниже оси \(Ox\). Так как знак \(\geq\), берём все точки на графике и выше него.

В пункте в) нужно преобразовать выражение с модулем:

\[ |y|-x^2+2x\leq 1 \iff |y|\leq x^2-2x+1. \]

Правая часть приводится к квадрату:

\[ x^2-2x+1=(x-1)^2. \]

Получаем:

\[ |y|\leq (x-1)^2. \]

Так как \((x-1)^2\geq 0\), можно раскрыть модуль по правилу:

\[ -(x-1)^2\leq y\leq (x-1)^2. \]

Значит, искомая область состоит из всех точек, расположенных между двумя параболами:

\[ y=(x-1)^2 \quad \text{и} \quad y=-(x-1)^2. \]

Границы входят, потому что неравенство нестрогое.

В пункте г) имеем:

\[ |y|+x^2-4x\geq 4 \iff |y|\geq 4-x^2+4x. \]

Преобразуем правую часть:

\[ 4-x^2+4x=8-(x-2)^2. \]

Тогда неравенство принимает вид

\[ |y|\geq 8-(x-2)^2. \]

Теперь важно учесть знак правой части.

Если

\[ 8-(x-2)^2\leq 0, \]

то модуль \(|y|\), который всегда неотрицателен, автоматически будет не меньше этого числа. Значит, в этих значениях \(x\) подходят все точки плоскости.

Если же

\[ 8-(x-2)^2>0, \]

то условие

\[ |y|\geq 8-(x-2)^2 \]

означает, что точка должна лежать либо выше верхней дуги

\[ y=8-(x-2)^2, \]

либо ниже нижней дуги

\[ y=-\bigl(8-(x-2)^2\bigr). \]

Итак, в пункте г) внутри промежутка

\[ 2-2\sqrt{2}

берутся внешние области относительно двух парабол, а вне этого промежутка подходит вся плоскость.